Mostre que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2]. O assunto que vamos usar aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que é super útil para identificar se uma função contínua cruza o eixo x em algum lugar dentro de um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo, ou seja, em
e
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos analisar os resultados. Vemos que:
-
é negativo. -
é positivo.
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e assume valores com sinais opostos nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto
em
onde
.
Passo 4
Precisamos confirmar que a função
é contínua no intervalo [1,2]. Como
é um polinômio, sabemos que todas as funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. Então, estamos garantidos de que
é contínua em [1,2].
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário:
- Sabemos que
e . - Como a função muda de negativo para positivo e é contínua, deve haver pelo menos um valor
entre 1 e 2 onde .
Resposta
Portanto, a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].
Exercícios relacionados
Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
Uma lata cilíndrica de ter o volume de
. Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata.
Calcule:
Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo: