Mostre que a função f(x) = x^3 + x - 5 tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2]. O assunto que vamos usar aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que é super útil para identificar se uma função contínua cruza o eixo x em algum lugar dentro de um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos analisar os resultados. Vemos que:
  • é negativo.
  • é positivo.
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado e assume valores com sinais opostos nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto em onde .

Passo 4

Precisamos confirmar que a função é contínua no intervalo [1,2]. Como é um polinômio, sabemos que todas as funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. Então, estamos garantidos de que é contínua em [1,2].

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário:
  • Sabemos que e .
  • Como a função muda de negativo para positivo e é contínua, deve haver pelo menos um valor entre 1 e 2 onde .

Resposta

Portanto, a função tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].

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