Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de até . Isso envolve o cálculo de integrais, que fazem parte do estudo do cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como integrar cada termo da função e também lidar com possíveis problemas, como pontos onde a função não é definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar cada parte da função separadamente. A integral de com relação a é , e a integral de é . Então, a antiderivada da nossa função é:
onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa antiderivada nos limites de a . Mas antes, dá uma olhada: a função não está definida quando , porque dá divisão por zero. Isso significa que temos que tratar essa integral como uma integral imprópria, dividindo-a em duas partes: de a e de a .

Passo 4

Vamos calcular a primeira parte: de a . Usamos a antiderivada que encontramos:
Simplificando isso:
Quando se aproxima de pelo lado negativo, vai para , então essa parte da integral é infinita.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: de a :
Simplificando:
Aqui, vai para quando se aproxima de pelo lado positivo, então essa parte também é infinita.

Passo 6

Como ambas as partes da integral vão para o infinito ( e ), a integral total não converge para um valor finito. Ou seja, ela diverge.

Resposta

A integral não converge, ou seja, ela diverge para o infinito.

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E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
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Calcule.