Uma lata cilíndrica de ter o volume de . Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lata cilíndrica com volume de e precisa descobrir quanto vai custar o material pra construir essa lata em função do raio da base. Vamos usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre cilindros, para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
onde é o volume, é o raio da base e é a altura.

Passo 3

Sabemos que o volume . Vamos igualar isso à fórmula do volume e resolver para a altura :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área da superfície da lata para determinar o custo do material. A área da superfície de um cilindro é dada por:
Aqui, é a área das duas bases (superior e inferior) e é a área lateral.

Passo 5

Vamos substituir a altura que encontramos no passo anterior na fórmula da área:
Simplificando:

Passo 6

A função que representa o custo do material será proporcional à área da superfície. Se considerarmos que o custo é igual à área, então:
Essa é a expressão que relaciona o custo com o raio da base da lata.

Resposta

O custo do material necessário para construir a lata em função do raio da base é:

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