Uma lata cilíndrica de ter o volume de
. Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lata cilíndrica com volume de
e precisa descobrir quanto vai custar o material pra construir essa lata em função do raio da base. Vamos usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre cilindros, para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
onde
é o volume,
é o raio da base e
é a altura.
Passo 3
Sabemos que o volume
. Vamos igualar isso à fórmula do volume e resolver para a altura
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a área da superfície da lata para determinar o custo do material. A área da superfície de um cilindro é dada por:
Aqui,
é a área das duas bases (superior e inferior) e
é a área lateral.
Passo 5
Vamos substituir a altura
que encontramos no passo anterior na fórmula da área:
Simplificando:
Passo 6
A função que representa o custo do material será proporcional à área da superfície. Se considerarmos que o custo é igual à área, então:
Essa é a expressão que relaciona o custo
com o raio
da base da lata.
Resposta
O custo do material necessário para construir a lata em função do raio
da base é:
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E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
Mostre que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].