Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
d y/d x = 2 y/x - x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente viu chamada de Equação de Bernoulli. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação não linear porque o termo está presente. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável que transforma essa equação em uma linear, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da Equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
A ideia é fazer uma substituição que elimine o termo não linear . Para isso, definimos uma nova variável da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo da equação original:
Lembrando que , então substituímos por :
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 4

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :
Simplificando, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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