Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente viu chamada de Equação de Bernoulli. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação não linear porque o termo
está presente. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável que transforma essa equação em uma linear, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da Equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
A ideia é fazer uma substituição que elimine o termo não linear
. Para isso, definimos uma nova variável
da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo
da equação original:
Lembrando que
, então substituímos
por
:
Agora, temos uma equação linear em termos de
.
Passo 4
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 5
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Simplificando, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.