Investigue a continuidade nos pontos indicados:
em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente dependendo de
. Queremos investigar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função quando
se aproxima desse ponto existe. - O limite calculado é igual ao valor da função nesse ponto.
Aqui, a função
está definida para
como
. Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2, mas
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
Então, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo
por 2:
Passo 4
Agora, comparando o limite com o valor da função em
:
Como os dois valores são iguais, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.
Resposta
A função
é contínua em
porque o limite quando
se aproxima de 2 é igual ao valor da função nesse ponto.
Exercícios relacionados
Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
Calcule.
Um dos contaminantes principais de um acidente nuclear, tal como o de Chernobyl, é o estrôncio-90 restante, que decai exponencialmente a uma taxa de aproximadamente
ao ano. Estimativas preliminares depois do desastre de Chernobyl sugeriam que se passariam 100 anos antes que a região ficasse novamente segura para habitação humana. Avalie a porcentagem do estrôncio-90 original restante a esse tempo.
Calcule.