Investigue a continuidade nos pontos indicados:
f(x) = { (x^3 - 8) / (x^2 - 4), se x ≠ 2; 3, se x = 2 } em x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente dependendo de . Queremos investigar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima desse ponto existe.
  3. O limite calculado é igual ao valor da função nesse ponto.
Aqui, a função está definida para como . Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2, mas .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
Então, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo por 2:

Passo 4

Agora, comparando o limite com o valor da função em :
Como os dois valores são iguais, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.

Resposta

A função é contínua em porque o limite quando se aproxima de 2 é igual ao valor da função nesse ponto.

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