Investigue a continuidade nos pontos indicados:
em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente dependendo de
. Queremos investigar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função quando
se aproxima desse ponto existe. - O limite calculado é igual ao valor da função nesse ponto.
Aqui, a função
está definida para
como
. Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2, mas
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
Então, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo
por 2:
Passo 4
Agora, comparando o limite com o valor da função em
:
Como os dois valores são iguais, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.
Resposta
A função
é contínua em
porque o limite quando
se aproxima de 2 é igual ao valor da função nesse ponto.