Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial não linear conhecida como Equação de Bernoulli. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica especial que transforma essa equação não linear em uma equação linear mais fácil de resolver. Vamos seguir os passos!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Como o expoente de
é 2, que é diferente de 1, podemos aplicar a substituição para transformar a equação.
Passo 3
A substituição que usamos na Equação de Bernoulli é:
Substituindo
:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Vamos reescrever a equação original em termos de
. Começamos isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas sabemos que
e
. Substituindo:
Passo 5
Agora temos uma equação linear em
:
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Mas
, então:
Resposta
Finalmente, isolando
:
Onde
é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Calcule.
Determine, se existirem, os valores de
, nos quais a função
não é contínua.
.
Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo: