Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial não linear conhecida como Equação de Bernoulli. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica especial que transforma essa equação não linear em uma equação linear mais fácil de resolver. Vamos seguir os passos!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Como o expoente de é 2, que é diferente de 1, podemos aplicar a substituição para transformar a equação.

Passo 3

A substituição que usamos na Equação de Bernoulli é:
Substituindo :
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Vamos reescrever a equação original em termos de . Começamos isolando :
Multiplicando ambos os lados por :
Mas sabemos que e . Substituindo:

Passo 5

Agora temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Mas , então:

Resposta

Finalmente, isolando :
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Calcule.
Determine, se existirem, os valores de , nos quais a função não é contínua.
.
Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo: