Determine, se existirem, os valores de , nos quais a função não é contínua.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir se existem valores de no domínio de onde a função não é contínua. A matéria envolvida aqui é continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar analisar a função por partes e verificar se há algum ponto onde ela “pula” ou não segue de forma suave.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida. Ela é uma função por partes, ou seja, tem diferentes expressões dependendo do valor de :
Isso significa que para valores de maiores ou iguais a 0, usamos , e para valores maiores que 3, usamos .

Passo 3

Agora, vamos identificar o domínio da função . Observando as condições:
  • e
Parece que há uma sobreposição quando , já que 3 é maior que 0. Então, o domínio é todos os números reais que são maiores ou iguais a 0:

Passo 4

Para verificar a continuidade da função, precisamos olhar para os pontos onde a definição da função muda, ou seja, nos pontos de descontinuidade potenciais. Nesse caso, os pontos de interesse são onde as condições mudam:
  • Em
  • Em
Vamos analisar cada um desses pontos separadamente.

Passo 5

Analisando em :
Aqui, a função muda de nada (já que para não está definida) para . Vamos verificar o limite quando se aproxima de 0:
E o valor da função em :
Como o limite e o valor da função são iguais, a função é contínua em .

Passo 6

Analisando em :
Aqui, a função muda de para . Vamos verificar se o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita e também se é igual ao valor da função em .
Primeiro, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda:
Agora, o limite quando se aproxima de 3 pela direita:
E o valor da função em :
Claramente, não é igual a 10. Isso significa que há um salto na função em , ou seja, a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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