Determine, se existirem, os valores de
, nos quais a função
não é contínua.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir se existem valores de
no domínio de
onde a função não é contínua. A matéria envolvida aqui é continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar analisar a função por partes e verificar se há algum ponto onde ela “pula” ou não segue de forma suave.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida. Ela é uma função por partes, ou seja, tem diferentes expressões dependendo do valor de
:
Isso significa que para valores de
maiores ou iguais a 0, usamos
, e para valores maiores que 3, usamos
.
Passo 3
Agora, vamos identificar o domínio da função
. Observando as condições:
-
e -
Parece que há uma sobreposição quando
, já que 3 é maior que 0. Então, o domínio
é todos os números reais
que são maiores ou iguais a 0:
Passo 4
Para verificar a continuidade da função, precisamos olhar para os pontos onde a definição da função muda, ou seja, nos pontos de descontinuidade potenciais. Nesse caso, os pontos de interesse são onde as condições mudam:
- Em
- Em
Vamos analisar cada um desses pontos separadamente.
Passo 5
Analisando em
:
Aqui, a função muda de nada (já que para
não está definida) para
. Vamos verificar o limite quando
se aproxima de 0:
E o valor da função em
:
Como o limite e o valor da função são iguais, a função é contínua em
.
Passo 6
Analisando em
:
Aqui, a função muda de
para
. Vamos verificar se o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita e também se é igual ao valor da função em
.
Primeiro, o limite quando
se aproxima de 3 pela esquerda:
Agora, o limite quando
se aproxima de 3 pela direita:
E o valor da função em
:
Claramente,
não é igual a 10. Isso significa que há um salto na função em
, ou seja, a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.
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