Calcule, usando o método de mudança de variável
integral1^2(x-2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o método de mudança de variável, também conhecido como substituição. Essa técnica é útil quando a integral tem uma parte que se repete ou pode ser simplificada substituindo por uma nova variável. Para isso, vamos identificar uma parte da função que vai facilitar a integração quando substituída.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma nova variável u = x - 2 que simplifique a integral. Observando , uma boa escolha é:
Isso porque a derivada de em relação a será simples e vai nos ajudar a substituir todo o na integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para dudx = 1 em termos de dx = du . Diferenciando em relação a , temos:
Então, isolando :
Isso simplifica nossa integral, já que agora podemos substituir por e por .

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável u = 1 - 2 = -1 . Quando u = 2 - 2 = 0 :
E quando :
Ent��o, a integral agora vai de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral1^2(x-2)^3 dx = integral-1^0u^3 du
Agora, vamos integrar u^44 em relação a [u^44]-1^0 = 0^44 - (-1)^44 = 0 - 14 = -14 . A antiderivada de é:
Então, avaliando de a :

Resposta

A integral calculada pelo método de mudança de variável é .

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