Calcule, usando o método de mudança de variável
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando o método de mudança de variável, também conhecido como substituição. Essa técnica é útil quando a integral tem uma parte que se repete ou pode ser simplificada substituindo por uma nova variável. Para isso, vamos identificar uma parte da função que vai facilitar a integração quando substituída.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma nova variável
que simplifique a integral. Observando
, uma boa escolha é:
Isso porque a derivada de
em relação a
será simples e vai nos ajudar a substituir todo o
na integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
em termos de
. Diferenciando
em relação a
, temos:
Então, isolando
:
Isso simplifica nossa integral, já que agora podemos substituir
por
e
por
.
Passo 4
Também precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável
. Quando
:
E quando
:
Ent��o, a integral agora vai de
a
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Agora, vamos integrar
em relação a
. A antiderivada de
é:
Então, avaliando de
a
:
Resposta
A integral
calculada pelo método de mudança de variável é
.