Alguns problemas são limitados por dois gráficos, além das retas paralelas ao eixo y que interceptam o eixo x nos pontos que correspondem ao intervalo, no qual se deseja calcular a área, como a área limitada por x equals 0, x equals 1, y equals 2 e y equals x ². Resolva o problema de calcular a área limitada pelos valores descritos acima e assinale a alternativa que corresponde à área.
a.2 over 3
b.1 third
c.5 over 3
d.1
e.4 over 3

Passo 1

Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar a área limitada pelas curvas $ y = 2 $ e $ y = x^2 $, além das retas $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integrais definidas, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a área. Temos duas funções:
  • $ y = 2 $: Uma reta horizontal que passa por $ y = 2 $.
  • $ y = x^2 $: Uma parábola que abre para cima.
E também temos as retas verticais:
  • $ x = 0 $: O eixo y.
  • $ x = 1 $: Uma reta vertical no ponto $ x = 1 $.

Passo 3

Vamos visualizar essas curvas no intervalo de $ x $ de 0 a 1. Para cada valor de $ x $ entre 0 e 1, $ y = 2 $ está acima de $ y = x^2 $, pois $ x^2 $ varia de 0 a 1 nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar a área entre essas duas curvas, usamos a integral definida da diferença entre as funções superior e inferior no intervalo dado. A fórmula geral para isso é:
Área = integrala^b (f(x) - g(x)) , dx Á
Onde $ f(x) $ é a função de cima ($ y = 2 $) e $ g(x) $ é a função de baixo ($ y = x^2 $), e $ a = 0 $, $ b = 1 $.

Passo 5

Agora, aplicando as funções na fórmula:
Área = integral0^1 (2 - x^2) , dx Á

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral (2 - x^2) , dx = integral 2 , dx - integral x^2 , dx = 2x - x^33 + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, não precisamos do termo $ C $.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Área = [ 2x - x^33 ]0^1 = ( 2(1) - 1^33 ) - ( 2(0) - 0^33 ) = 2 - 13 - 0 = 63 - 13 = 53 Á

Resposta

A área limitada pelas curvas é $ \frac{5}{3} $.

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