A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o volume de ∭ E x^2 dV, sabendo que E compreende a região contida dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1, acima do plano z = 0 e abaixo do cone z^2 = 4x^2 + 4y^2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla
. O problema nos pede para encontrar o volume da região
que está dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e coordenadas cilíndricas, já que a simetria do cilindro facilita os cálculos nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. O cilindro
tem raio 1 e se estende infinitamente ao longo do eixo
. O plano
é o plano horizontal que corta o cilindro na base. O cone
pode ser reescrito como
, mostrando que ele se abre a partir da origem.
Passo 3
Como estamos lidando com círculos e cones, coordenadas cilíndricas são ideais. Lembre-se que em coordenadas cilíndricas,
,
e
, com o elemento de volume
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. O raio
varia de 0 a 1, pois o cilindro tem raio 1. O ângulo
varia de 0 a
para cobrir toda a circunferência. Para
, ele varia do plano
até o cone
.
Passo 5
Agora, expressamos a função
em coordenadas cilíndricas. Como
, temos
.
Passo 6
Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos separar as integrais:
Passo 9
Calculamos a integral em
:
Passo 10
Agora, calculamos a integral em
:
Lembrando que
, temos:
Passo 11
Juntando tudo, temos:
Resposta
O volume da região
é igual a
.