A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o volume de ∭ E x^2 dV, sabendo que E compreende a região contida dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1, acima do plano z = 0 e abaixo do cone z^2 = 4x^2 + 4y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla integral triplaE x^2 , dV. O problema nos pede para encontrar o volume da região E que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1, acima do plano z = 0 e abaixo do cone z^2 = 4x^2 + 4y^2. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e coordenadas cilíndricas, já que a simetria do cilindro facilita os cálculos nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região E. O cilindro x^2 + y^2 = 1 tem raio 1 e se estende infinitamente ao longo do eixo z. O plano z = 0 é o plano horizontal que corta o cilindro na base. O cone z^2 = 4x^2 + 4y^2 pode ser reescrito como z = 2raizx^2 + y^2, mostrando que ele se abre a partir da origem.

Passo 3

Como estamos lidando com círculos e cones, coordenadas cilíndricas são ideais. Lembre-se que em coordenadas cilíndricas, x = r costheta, y = r sintheta e z = z, com o elemento de volume dV = r , dz , dr , dtheta.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O raio r varia de 0 a 1, pois o cilindro tem raio 1. O ângulo theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência. Para z, ele varia do plano z = 0 até o cone z = 2r.

Passo 5

Agora, expressamos a função x^2 em coordenadas cilíndricas. Como x = r costheta, temos x^2 = r^2 cos^2theta.

Passo 6

Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE x^2 , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^2r r^2 cos^2theta cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, fica:
integral0^2pi integral0^1 integral0^2r r^3 cos^2theta , dz , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em z primeiro:
integral0^2r r^3 cos^2theta , dz = r^3 cos^2theta cdot [ z ]0^2r = r^3 cos^2theta cdot 2r = 2r^4 cos^2theta

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 2r^4 cos^2theta , dr , dtheta
Vamos separar as integrais:
2 integral0^2pi cos^2theta , dtheta cdot integral0^1 r^4 , dr

Passo 9

Calculamos a integral em r:
integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15

Passo 10

Agora, calculamos a integral em theta:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta
Lembrando que cos^2theta = 1 + cos(2theta)2, temos:
integral0^2pi 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral0^2pi 1 , dtheta + 12 integral0^2pi cos(2theta) , dtheta = 12 cdot 2pi + 0 = pi

Passo 11

Juntando tudo, temos:
2 cdot pi cdot 15 = 2pi5

Resposta

O volume da região E é igual a dfrac2pi5.

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