A função que calcula o espaço percorrido por um avião em sua trajetória de decolagem é proporcional ao quadrado do tempo da trajetória. Sabe-se que há uma velocidade mínima para o avião decolar. Qual método de integração numérica deve ser utilizado no cálculo dessa integral numérica, para descobrir qual é o menor tamanho da pista de decolagem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve calcular o espaço percorrido por um avião durante a decolagem. A função que descreve esse espaço é proporcional ao quadrado do tempo da trajetória. Além disso, sabemos que existe uma velocidade mínima necessária para o avião decolar. Nosso objetivo é descobrir qual método de integração numérica devemos usar para calcular essa integral e, assim, encontrar o menor tamanho possível da pista de decolagem. Vamos precisar entender um pouco sobre métodos de integração numérica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é integração numérica. Integração numérica é um conjunto de métodos usados para aproximar o valor de uma integral definida, especialmente quando a função a ser integrada é complicada ou não possui uma antiderivada fácil de encontrar. No nosso caso, a função que descreve o espaço percorrido é proporcional ao quadrado do tempo, ou seja, podemos escrever $ s(t) = k t^2 $, onde $ k $ é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre alguns métodos comuns de integração numérica que podemos considerar:
- Regra do Trapézio: Aproxima a área sob a curva usando trapézos em vez de retângulos.
- Regra de Simpson: Usa parábolas para aproximar a área, proporcionando maior precisão para funções suaves.
- Método dos Retângulos: Aproxima a área usando retângulos, podendo ser à esquerda, à direita ou no ponto médio.
Cada método tem suas vantagens e níveis de precisão, dependendo da função que estamos integrando.
Passo 4
No nosso caso, estamos lidando com uma função quadrática, $ s(t) = k t^2 $. Funções polinomiais são bem comportadas e suaves, o que significa que métodos que aproveitam essa suavidade podem ser mais precisos. A Regra de Simpson é especialmente eficaz para funções polinomiais de até terceiro grau, pois utiliza parábolas para aproximar a função de forma mais precisa do que os trapézios ou retângulos.
Passo 5
Considerando que nossa função é um polinômio de segundo grau e que queremos uma aproximação precisa do espaço percorrido, a Regra de Simpson é a escolha ideal. Ela nos dará uma boa estimativa do valor da integral com menos pontos de avaliação comparado a métodos menos precisos.
Resposta
Deve-se utilizar a Regra de Simpson como método de integração numérica para calcular a integral e, assim, determinar o menor tamanho da pista de decolagem.