Se um alimentador de gotejamento injeta
gramas por minuto em seu braço e seu corpo elimina a droga a uma taxa de
gramas por minuto, qual é a concentração de estado estacionário
. Então entrada=saida e
é constante. Escreva uma equação diferencial para
. (Note que o estado estacionario tem
ou
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um alimentador de gotejamento que injeta uma certa quantidade de medicamento no braço, e o corpo que elimina esse medicamento. A matéria que vamos usar aqui é dinâmica de sistemas, que envolve equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como a entrada e a saída do medicamento se equilibram no estado estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a concentração de estado estacionário,
. No estado estacionário, a quantidade de medicamento que entra é igual à que sai. Isso significa que a taxa de entrada
é igual à taxa de eliminação
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, isolamos
para encontrar o valor da concentração no estado estacionário:
Substituindo o valor de
gramas por minuto:
Passo 4
Agora, vamos escrever a equação diferencial para
, onde
é a concentração em qualquer instante de tempo.
A equação geral que descreve a taxa de variação de
é:
Substituindo
:
Como
é constante,
, então:
Sabemos que
, então:
Resposta
A concentração de estado estacionário é
gramas, e a equação diferencial para
é: