Se um alimentador de gotejamento injeta q = 0,3 gramas por minuto em seu braço e seu corpo elimina a droga a uma taxa de 6y gramas por minuto, qual é a concentração de estado estacionário y_infinito. Então entrada=saida e y_infinito é constante. Escreva uma equação diferencial para Y = y - y_infinito. (Note que o estado estacionario tem y entrada = y saida ou q = -a y_infinito )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um alimentador de gotejamento que injeta uma certa quantidade de medicamento no braço, e o corpo que elimina esse medicamento. A matéria que vamos usar aqui é dinâmica de sistemas, que envolve equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como a entrada e a saída do medicamento se equilibram no estado estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a concentração de estado estacionário, . No estado estacionário, a quantidade de medicamento que entra é igual à que sai. Isso significa que a taxa de entrada é igual à taxa de eliminação .
Então, temos:

Passo 3

Agora, isolamos para encontrar o valor da concentração no estado estacionário:
Substituindo o valor de gramas por minuto:

Passo 4

Agora, vamos escrever a equação diferencial para , onde é a concentração em qualquer instante de tempo.
A equação geral que descreve a taxa de variação de é:
Substituindo :
Como é constante, , então:
Sabemos que , então:

Resposta

A concentração de estado estacionário é gramas, e a equação diferencial para é:

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