Seja F uma força que atua sobre (x, y), calcule o trabalho ao longo da curva C , onde:
a) F: R^2 -> R^2 dada por F(x, y) = (-y, x).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força ao longo de uma curva . A força que estamos lidando é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, que nos ajudam a calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Onde representa o produto escalar entre a força e um diferencial de deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva . Como o enunciado não especifica a curva, vamos assumir que é uma circunferência de raio centrada na origem, percorrida no sentido anti-horário. A parametrização dessa circunferência pode ser feita usando coordenadas polares:
Assim, o vetor deslocamento diferencial é a derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos agora substituir e na expressão do trabalho:
Então,

Passo 5

Simplificando a expressão, percebemos que:
Portanto, a integral fica:

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo da curva é .

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