Seja
uma força que atua sobre
, calcule o trabalho ao longo da curva C , onde:
a)
dada por
.
a)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força
ao longo de uma curva
. A força que estamos lidando é dada por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, que nos ajudam a calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por uma força
ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Onde
representa o produto escalar entre a força e um diferencial de deslocamento ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
. Como o enunciado não especifica a curva, vamos assumir que
é uma circunferência de raio
centrada na origem, percorrida no sentido anti-horário. A parametrização dessa circunferência pode ser feita usando coordenadas polares:
Assim, o vetor deslocamento diferencial
é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos agora substituir
e
na expressão do trabalho:
Então,
Passo 5
Simplificando a expressão, percebemos que:
Portanto, a integral fica:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao longo da curva
é
.