Suponha que a função degrau seja ativado em
desativado
.
Então
. Começando de
, resolver
(Quem é
?)
Então
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
onde
. A função
é a função degrau de Heaviside, que “liga” em
e “desliga” em
. Nosso objetivo é resolver essa equação começando de
e encontrar
, que representa o valor de
quando o tempo
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A função degrau
é igual a 0 para
e igual a 1 para
. Então,
significa que:
- Para
, - Para
, - Para
,
Isso cria uma “janela” onde
está ativo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial. A equação é do tipo linear de primeira ordem, que tem a forma:
Nesse caso,
e
. Para resolver, usamos o fator integrante, que é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral
. Lembrando que
é 1 entre
e
, podemos dividir o problema em três intervalos:
- Para
, , então (pela condição inicial ). - Para
, , então:
- Para
, novamente, mas precisamos considerar o valor em :
E para
,
permanece constante, pois não há mais contribuição de
.
Passo 7
Finalmente, queremos encontrar
, que é o valor de
quando
vai para o infinito. Observando a solução para
:
Como não há mais termos dependentes de
,
se estabiliza nesse valor quando
tende ao infinito.
Resposta
O valor de
é
.