Suponha que a função degrau seja ativado em T = 4e desativado em T = 6.
Então q(t) = H(t-4) - H(t-6). Começando de y(0) = 0, resolver y' + 2y = q(t) (Quem é y_infinito ?)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
onde . A função é a função degrau de Heaviside, que “liga” em e “desliga” em . Nosso objetivo é resolver essa equação começando de e encontrar , que representa o valor de quando o tempo vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A função degrau é igual a 0 para e igual a 1 para . Então, significa que:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
Isso cria uma “janela” onde está ativo entre e .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial. A equação é do tipo linear de primeira ordem, que tem a forma:
Nesse caso, e . Para resolver, usamos o fator integrante, que é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral . Lembrando que é 1 entre e , podemos dividir o problema em três intervalos:
  1. Para , , então (pela condição inicial ).
  2. Para , , então:
  1. Para , novamente, mas precisamos considerar o valor em :
E para , permanece constante, pois não há mais contribuição de .

Passo 7

Finalmente, queremos encontrar , que é o valor de quando vai para o infinito. Observando a solução para :
Como não há mais termos dependentes de , se estabiliza nesse valor quando tende ao infinito.

Resposta

O valor de é .

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