Suponha que y' = H(t - 1) + H(t - 2) + H(t - 3), começando em y(0) = 0, encontre y(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão nos dá uma equação diferencial onde a derivada de , ou seja, , é igual à soma de três funções de Heaviside: . A condição inicial é que . Nosso objetivo é encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as funções de Heaviside. A função de Heaviside, , é uma função que vale 0 para e 1 para . Ela é muito útil para modelar “saltos” ou mudanças repentinas em sistemas.

Passo 3

Sabendo disso, nossa equação diferencial é:
Para encontrar , vamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 4

A integral de em relação a nos dá :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. para , e 0 para .
  2. para , e 0 para .
  3. para , e 0 para .

Passo 6

Agora, vamos montar a expressão de considerando os diferentes intervalos de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante .
Para :
Então, .

Passo 8

Substituindo nas expressões anteriores, temos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A função é dada por:

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