Suponha que
, começando em
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão nos dá uma equação diferencial onde a derivada de
, ou seja,
, é igual à soma de três funções de Heaviside:
. A condição inicial é que
. Nosso objetivo é encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as funções de Heaviside. A função de Heaviside,
, é uma função que vale 0 para
e 1 para
. Ela é muito útil para modelar “saltos” ou mudanças repentinas em sistemas.
Passo 3
Sabendo disso, nossa equação diferencial é:
Para encontrar
, vamos integrar essa expressão em relação a
.
Passo 4
A integral de
em relação a
nos dá
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
para , e 0 para . -
para , e 0 para . -
para , e 0 para .
Passo 6
Agora, vamos montar a expressão de
considerando os diferentes intervalos de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 7
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Para
:
Então,
.
Passo 8
Substituindo
nas expressões anteriores, temos:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
A função
é dada por: