alongamento de uma mola é avaliado em função da carga que atua sobre ela:
5 10 15 20 25 30 35 40
49 105 172 253 352 473 619 793
Interpolando com polinômios de grau, encontre as cargas correspondentes aos seguintes alongamentos:
a) 12 mm
b) 22 mm
c) 31 mm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra como o alongamento de uma mola varia de acordo com a carga que está atuando nela. O objetivo aqui é encontrar as cargas correspondentes a certos alongamentos usando um polinômio de terceiro grau. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre interpolação polinomial e como usar os dados que temos para construir nossa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os pontos da tabela que são mais próximos dos alongamentos que queremos encontrar. Para ser mais preciso, vamos utilizar quatro pontos da tabela para cada interpolação, já que estamos trabalhando com um polinômio de grau 3 (que tem quatro coeficientes para determinar).

Passo 3

Vamos começar com o item a) 12 mm. Olhando na tabela, vemos que 12 mm está entre 10 mm e 15 mm. Então, vamos usar os pontos onde mm para construir nosso polinômio.

Passo 4

Com esses quatro pontos, podemos montar um sistema de equações usando a forma geral do polinômio de terceiro grau:
Substituímos cada par na equação para criar um sistema que resolverá para os coeficientes .

Passo 5

Resolvendo esse sistema (fazendo as contas), encontramos os valores de e . Com esses coeficientes, podemos agora calcular substituindo na nossa equação.

Passo 6

Depois de calcular, encontramos que a carga correspondente a 12 mm de alongamento é aproximadamente N.

Resposta

a) Para um alongamento de 12 mm, a carga correspondente é 70 N.

Exercícios relacionados

São dados abaixo as partes reais da função de dispersão do plasma para distintos valores de . Calcule usando interpolação quadrática, baseado nos 3 primeiros valores da tabela e, também, a interpolação cúbica. Compare os resultados com o valor
2.0 2.2 2.5 3.0
-0.602681 -0.529022 -0.446167 -0.356542
Determine o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela abaixo:
-1 0 2
4 1 -1
Dada a seguinte tabela, calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
0.5 0.57358 0.70711 0.76604 0.81915
Compare o resultado obtido com a utilização de polinômios de Lagrange de graus 2 e 4.
Seja a seguinte tabela referente à uma função :
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0.67 0.82 1.00 1.22 1.49
a) Calcule por interpolação linear de Lagrange.
b) Calcule usando polinômio de Newton de grau 3.
c) Calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.