Dada a seguinte tabela, calcule
usando polinômios de Lagrange de grau 3.
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0.5 | 0.57358 | 0.70711 | 0.76604 | 0.81915 |
Compare o resultado obtido com a utilização de polinômios de Lagrange de graus 2 e 4.
Passo 1
Então, temos um exercício onde precisamos calcular o valor de
usando polinômios de Lagrange de diferentes graus (3, 2 e 4). Isso envolve interpolação polinomial, que é uma técnica para estimar valores entre pontos conhecidos de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir os polinômios de Lagrange e aplicar esses conhecimentos ao conjunto de dados fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no polinômio de Lagrange de grau 3. Isso significa que usaremos 4 pontos da tabela para construir o polinômio. Vamos escolher os pontos mais próximos de
, que são
,
,
e
.
Passo 3
O polinômio de Lagrange é dado por:
onde
são os polinômios base de Lagrange, definidos por:
Aqui,
é o grau do polinômio, que neste caso é 3.
Passo 4
Vamos calcular cada
para os 4 pontos selecionados:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos
em cada
:
Passo 6
Agora, aplicamos os valores de
na fórmula do polinômio de Lagrange:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Passo 7
Agora, vamos repetir o mesmo processo para os polinômios de Lagrange de grau 2 e 4.
Para grau 2, usamos 3 pontos mais próximos:
,
e
. Entretanto, como
não está na tabela original, precisamos ajustar os pontos usados para interpolação. Após os cálculos, obtemos
.
Para grau 4, usamos todos os 5 pontos disponíveis. Após realizar os cálculos correspondentes, obtemos
.
Resposta
O valor de
calculado usando polinômios de Lagrange é aproximadamente 0.6428. Comparando com os graus 2 e 4, observamos que os resultados estão muito próximos, indicando que o polinômio de grau 3 já proporciona uma boa aproximação.