Dada a seguinte tabela, calcule f(40^circ) usando polinômios de Lagrange de grau 3.
x 30^circ 35^circ 45^circ 50^circ 55^circ
f(x) 0.5 0.57358 0.70711 0.76604 0.81915
Compare o resultado obtido com a utilização de polinômios de Lagrange de graus 2 e 4.

Passo 1

Então, temos um exercício onde precisamos calcular o valor de usando polinômios de Lagrange de diferentes graus (3, 2 e 4). Isso envolve interpolação polinomial, que é uma técnica para estimar valores entre pontos conhecidos de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir os polinômios de Lagrange e aplicar esses conhecimentos ao conjunto de dados fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no polinômio de Lagrange de grau 3. Isso significa que usaremos 4 pontos da tabela para construir o polinômio. Vamos escolher os pontos mais próximos de , que são , , e .

Passo 3

O polinômio de Lagrange é dado por:
P(x) = sumi=0^n f(xi) cdot elli(x)
onde elli(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj são os polinômios base de Lagrange, definidos por:
Aqui, é o grau do polinômio, que neste caso é 3.

Passo 4

Vamos calcular cada ell0(x) = (x - 35)(x - 45)(x - 50)(30 - 35)(30 - 45)(30 - 50) = (x - 35)(x - 45)(x - 50)(-5)(-15)(-20) = (x - 35)(x - 45)(x - 50)-1500 para os 4 pontos selecionados:
Para ell1(x) = (x - 30)(x - 45)(x - 50)(35 - 30)(35 - 45)(35 - 50) = (x - 30)(x - 45)(x - 50)(5)(-10)(-15) = (x - 30)(x - 45)(x - 50)750 :
ell2(x) = (x - 30)(x - 35)(x - 50)(45 - 30)(45 - 35)(45 - 50) = (x - 30)(x - 35)(x - 50)(15)(10)(-5) = (x - 30)(x - 35)(x - 50)-750
Para ell3(x) = (x - 30)(x - 35)(x - 45)(50 - 30)(50 - 35)(50 - 45) = (x - 30)(x - 35)(x - 45)(20)(15)(5) = (x - 30)(x - 35)(x - 45)1500 :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos ell0(40) = (40 - 35)(40 - 45)(40 - 50)-1500 = (5)(-5)(-10)-1500 = 250-1500 = -16 em cada ell1(40) = (40 - 30)(40 - 45)(40 - 50)750 = (10)(-5)(-10)750 = 500750 = 23 :
ell2(40) = (40 - 30)(40 - 35)(40 - 50)-750 = (10)(5)(-10)-750 = -500-750 = 23
ell3(40) = (40 - 30)(40 - 35)(40 - 45)1500 = (10)(5)(-5)1500 = -2501500 = -16

Passo 6

Agora, aplicamos os valores de P(40) = f(30)cdot ell0(40) + f(35)cdot ell1(40) + f(45)cdot ell2(40) + f(50)cdot ell3(40) na fórmula do polinômio de Lagrange:
P(40) = 0.5 cdot (-16) + 0.57358 cdot (23) + 0.70711 cdot (23) + 0.76604 cdot (-16)
Substituindo os valores:
0.5 cdot (-16) = -0.08333
Calculando cada termo:
0.57358 cdot (23) approx 0.38239
0.70711 cdot (23) approx 0.47141
0.76604 cdot (-16) approx -0.12768
P(40) = -0.08333 + 0.38239 + 0.47141 - 0.12768 approx 0.64279
Somando todos:

Passo 7

Agora, vamos repetir o mesmo processo para os polinômios de Lagrange de grau 2 e 4.
Para grau 2, usamos 3 pontos mais próximos: , e . Entretanto, como não está na tabela original, precisamos ajustar os pontos usados para interpolação. Após os cálculos, obtemos .
Para grau 4, usamos todos os 5 pontos disponíveis. Após realizar os cálculos correspondentes, obtemos .

Resposta

O valor de calculado usando polinômios de Lagrange é aproximadamente 0.6428. Comparando com os graus 2 e 4, observamos que os resultados estão muito próximos, indicando que o polinômio de grau 3 já proporciona uma boa aproximação.

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