Dada a seguinte tabela, calcule
usando polinômios de Lagrange de grau 3.
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0.5 | 0.57358 | 0.70711 | 0.76604 | 0.81915 |
Compare o resultado obtido com a utilização de polinômios de Lagrange de graus 2 e 4.
Passo 1
Então, temos um exercício onde precisamos calcular o valor de
usando polinômios de Lagrange de diferentes graus (3, 2 e 4). Isso envolve interpolação polinomial, que é uma técnica para estimar valores entre pontos conhecidos de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir os polinômios de Lagrange e aplicar esses conhecimentos ao conjunto de dados fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no polinômio de Lagrange de grau 3. Isso significa que usaremos 4 pontos da tabela para construir o polinômio. Vamos escolher os pontos mais próximos de
, que são
,
,
e
.
Passo 3
O polinômio de Lagrange é dado por:
onde
são os polinômios base de Lagrange, definidos por:
Aqui,
é o grau do polinômio, que neste caso é 3.
Passo 4
Vamos calcular cada
para os 4 pontos selecionados:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos
em cada
:
Passo 6
Agora, aplicamos os valores de
na fórmula do polinômio de Lagrange:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Passo 7
Agora, vamos repetir o mesmo processo para os polinômios de Lagrange de grau 2 e 4.
Para grau 2, usamos 3 pontos mais próximos:
,
e
. Entretanto, como
não está na tabela original, precisamos ajustar os pontos usados para interpolação. Após os cálculos, obtemos
.
Para grau 4, usamos todos os 5 pontos disponíveis. Após realizar os cálculos correspondentes, obtemos
.
Resposta
O valor de
calculado usando polinômios de Lagrange é aproximadamente 0.6428. Comparando com os graus 2 e 4, observamos que os resultados estão muito próximos, indicando que o polinômio de grau 3 já proporciona uma boa aproximação.
Exercícios relacionados
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5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
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49 | 105 | 172 | 253 | 352 | 473 | 619 | 793 |
Interpolando com polinômios de
grau, encontre as cargas correspondentes aos seguintes alongamentos:
a) 12 mm
b) 22 mm
c) 31 mm
a) 12 mm
b) 22 mm
c) 31 mm
São dados abaixo as partes reais da função de dispersão do plasma
para distintos valores de
. Calcule
usando interpolação quadrática, baseado nos 3 primeiros valores da tabela e, também, a interpolação cúbica. Compare os resultados com o valor
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2.0 | 2.2 | 2.5 | 3.0 |
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-0.602681 | -0.529022 | -0.446167 | -0.356542 |
Seja a seguinte tabela referente à uma função
:
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-0.4 | -0.2 | 0 | 0.2 | 0.4 |
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0.67 | 0.82 | 1.00 | 1.22 | 1.49 |
a) Calcule
por interpolação linear de Lagrange.
b) Calcule usando polinômio de Newton de grau 3.
c) Calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
b) Calcule
c) Calcule
Um paraquedista realizou 6 saltos, de 6 alturas distintas. A precisão de seus saltos foi avaliada em relação a um determinado ponto, marcado no chão com um X. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa ao centro do X :
altura do salto
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1500 | 1250 | 1000 | 750 | 500 |
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distância do alvo
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35 | 25 | 15 | 10 | 7 |
Considerando os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 800 m ? (use interpolação por polinômios de Gregory Newton).