Dada a seguinte tabela, calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
0.5 0.57358 0.70711 0.76604 0.81915
Compare o resultado obtido com a utilização de polinômios de Lagrange de graus 2 e 4.

Passo 1

Então, temos um exercício onde precisamos calcular o valor de usando polinômios de Lagrange de diferentes graus (3, 2 e 4). Isso envolve interpolação polinomial, que é uma técnica para estimar valores entre pontos conhecidos de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir os polinômios de Lagrange e aplicar esses conhecimentos ao conjunto de dados fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no polinômio de Lagrange de grau 3. Isso significa que usaremos 4 pontos da tabela para construir o polinômio. Vamos escolher os pontos mais próximos de , que são , , e .

Passo 3

O polinômio de Lagrange é dado por:
onde são os polinômios base de Lagrange, definidos por:
Aqui, é o grau do polinômio, que neste caso é 3.

Passo 4

Vamos calcular cada para os 4 pontos selecionados:
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos em cada :

Passo 6

Agora, aplicamos os valores de na fórmula do polinômio de Lagrange:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Somando todos:

Passo 7

Agora, vamos repetir o mesmo processo para os polinômios de Lagrange de grau 2 e 4.
Para grau 2, usamos 3 pontos mais próximos: , e . Entretanto, como não está na tabela original, precisamos ajustar os pontos usados para interpolação. Após os cálculos, obtemos .
Para grau 4, usamos todos os 5 pontos disponíveis. Após realizar os cálculos correspondentes, obtemos .

Resposta

O valor de calculado usando polinômios de Lagrange é aproximadamente 0.6428. Comparando com os graus 2 e 4, observamos que os resultados estão muito próximos, indicando que o polinômio de grau 3 já proporciona uma boa aproximação.

Exercícios relacionados

alongamento de uma mola é avaliado em função da carga que atua sobre ela:
5 10 15 20 25 30 35 40
49 105 172 253 352 473 619 793
Interpolando com polinômios de grau, encontre as cargas correspondentes aos seguintes alongamentos:
a) 12 mm
b) 22 mm
c) 31 mm
São dados abaixo as partes reais da função de dispersão do plasma para distintos valores de . Calcule usando interpolação quadrática, baseado nos 3 primeiros valores da tabela e, também, a interpolação cúbica. Compare os resultados com o valor
2.0 2.2 2.5 3.0
-0.602681 -0.529022 -0.446167 -0.356542
Seja a seguinte tabela referente à uma função :
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0.67 0.82 1.00 1.22 1.49
a) Calcule por interpolação linear de Lagrange.
b) Calcule usando polinômio de Newton de grau 3.
c) Calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
Um paraquedista realizou 6 saltos, de 6 alturas distintas. A precisão de seus saltos foi avaliada em relação a um determinado ponto, marcado no chão com um X. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa ao centro do X :
altura do salto 1500 1250 1000 750 500
distância do alvo 35 25 15 10 7
Considerando os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 800 m ? (use interpolação por polinômios de Gregory Newton).