Seja a seguinte tabela referente à uma função :
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
0.67 0.82 1.00 1.22 1.49
a) Calcule por interpolação linear de Lagrange.
b) Calcule usando polinômio de Newton de grau 3.
c) Calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma tabela que mostra alguns valores de uma função . O exercício pede para calcular valores de em pontos que não estão na tabela usando técnicas de interpolação polinomial. Especificamente, vamos usar os métodos de Lagrange e Newton para encontrar os valores de e . Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar as fórmulas corretas passo a passo.

Passo 2

Parte a) Calcular por interpolação linear de Lagrange.
Primeiro, a interpolação linear de Lagrange usa dois pontos próximos ao valor que queremos encontrar para estimar . Olhando na tabela, os pontos mais próximos de são e .
A fórmula de interpolação de Lagrange para dois pontos é:
Vamos chamar , , , e . Substituindo na fórmula:
Calculando as frações:

Passo 3

Parte b) Calcular usando polinômio de Newton de grau 3.
O polinômio de Newton de grau 3 utiliza quatro pontos para interpolar. Vamos escolher os pontos , , , e com os respectivos valores de .
Primeiro, construímos a tabela das diferenças divididas:
Agora, o polinômio de Newton é:
Substituindo os valores:
Agora, substituímos :

Passo 4

Parte c) Calcular usando polinômios de Lagrange de grau 3.
Nesse caso, vamos usar quatro pontos para construir o polinômio de Lagrange de grau 3. Vamos utilizar os pontos , , , e .
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 3 é:
Onde cada é definido por:
Vamos calcular cada :
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :
Agora, aplicamos a fórmula do polinômio:

Resposta

a)
b)
c)

Exercícios relacionados

Dada a seguinte tabela, calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
0.5 0.57358 0.70711 0.76604 0.81915
Compare o resultado obtido com a utilização de polinômios de Lagrange de graus 2 e 4.
alongamento de uma mola é avaliado em função da carga que atua sobre ela:
5 10 15 20 25 30 35 40
49 105 172 253 352 473 619 793
Interpolando com polinômios de grau, encontre as cargas correspondentes aos seguintes alongamentos:
a) 12 mm
b) 22 mm
c) 31 mm
Um paraquedista realizou 6 saltos, de 6 alturas distintas. A precisão de seus saltos foi avaliada em relação a um determinado ponto, marcado no chão com um X. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa ao centro do X :
altura do salto 1500 1250 1000 750 500
distância do alvo 35 25 15 10 7
Considerando os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 800 m ? (use interpolação por polinômios de Gregory Newton).
Dados os valores funcionais da função , calcule por meio de um spline interpolante cúbico.
1 1.5 2 2.5 3
1 0.5