Determine o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela abaixo:
-1 0 2
4 1 -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de grau 2 que passe por três pontos específicos: (-1, 4), (0, 1) e (2, -1). Isso faz parte do conteúdo de interpolação de polinômios, que é uma técnica da álgebra usada para encontrar uma função que conecta pontos dados. Vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para descobrir os coeficientes desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é um polinômio de grau 2. Ele tem a forma geral:
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos que a gente tem para montar equações. Sabemos que o polinômio deve passar por cada um desses pontos, então substituímos e em cada caso:
  1. Para o ponto (-1, 4):
  1. Para o ponto (0, 1):
  1. Para o ponto (2, -1):

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Já sabemos que a partir da segunda equação. Substituímos esse valor nas outras duas equa��ões:
  1. Da primeira equação:
\quad (Equação 1)
  1. Da terceira equação:
Dividindo tudo por 2:
\quad (Equação 2)
Agora temos:
Vamos somar as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos na Equação 1 para encontrar :

Passo 5

Agora que temos todos os coeficientes:
Vamos escrever o polinômio final substituindo esses valores na forma geral:

Resposta

O polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela é:

Exercícios relacionados

Obtenha a aproximação da integral. Use 4 casas decimais.
(b) Simpson: .
i xi fxi P
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Resolva o sistema não linear utilizando o método de Newton considerando as condições iniciais: .

Complete a tabela:
São dados abaixo as partes reais da função de dispersão do plasma para distintos valores de . Calcule usando interpolação quadrática, baseado nos 3 primeiros valores da tabela e, também, a interpolação cúbica. Compare os resultados com o valor
2.0 2.2 2.5 3.0
-0.602681 -0.529022 -0.446167 -0.356542
alongamento de uma mola é avaliado em função da carga que atua sobre ela:
5 10 15 20 25 30 35 40
49 105 172 253 352 473 619 793
Interpolando com polinômios de grau, encontre as cargas correspondentes aos seguintes alongamentos:
a) 12 mm
b) 22 mm
c) 31 mm