Determine o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela abaixo:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de grau 2 que passe por três pontos específicos: (-1, 4), (0, 1) e (2, -1). Isso faz parte do conteúdo de interpolação de polinômios, que é uma técnica da álgebra usada para encontrar uma função que conecta pontos dados. Vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para descobrir os coeficientes desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é um polinômio de grau 2. Ele tem a forma geral:
P(x) = ax^2 + bx + c
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos que a gente tem para montar equações. Sabemos que o polinômio deve passar por cada um desses pontos, então substituímos 4 = a(-1)^2 + b(-1) + c e 4 = a - b + c em cada caso:
  1. Para o ponto (-1, 4):
1 = a(0)^2 + b(0) + c
1 = c
  1. Para o ponto (0, 1):
-1 = a(2)^2 + b(2) + c
-1 = 4a + 2b + c
  1. Para o ponto (2, -1):

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Já sabemos que 4 = a - b + 1 a partir da segunda equação. Substituímos esse valor nas outras duas equa��ões:
  1. Da primeira equação:
3 = a - b
a - b = 3
-1 = 4a + 2b + 1 \quad (Equação 1)
  1. Da terceira equação:
-2 = 4a + 2b
-1 = 2a + b
Dividindo tudo por 2:
a - b = 3 \quad (Equação 2)
Agora temos:
2a + b = -1
(a - b) + (2a + b) = 3 + (-1)
Vamos somar as duas equações para eliminar 3a = 2 :
a = 23
23 - b = 3
-b = 3 - 23
Agora, substituímos -b = 73 na Equação 1 para encontrar b = -73 :

Passo 5

Agora que temos todos os coeficientes:
a = 23
b = -73
c = 1
Vamos escrever o polinômio final substituindo esses valores na forma geral:
P(x) = 23x^2 - 73x + 1

Resposta

O polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela é:
P(x) = 23x^2 - 73x + 1

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