Determine o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela abaixo:
|
-1 | 0 | 2 |
---|---|---|---|
|
4 | 1 | -1 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de grau 2 que passe por três pontos específicos: (-1, 4), (0, 1) e (2, -1). Isso faz parte do conteúdo de interpolação de polinômios, que é uma técnica da álgebra usada para encontrar uma função que conecta pontos dados. Vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para descobrir os coeficientes desse polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é um polinômio de grau 2. Ele tem a forma geral:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos usar os pontos que a gente tem para montar equações. Sabemos que o polinômio deve passar por cada um desses pontos, então substituímos
e
em cada caso:
- Para o ponto (-1, 4):
- Para o ponto (0, 1):
- Para o ponto (2, -1):
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Já sabemos que
a partir da segunda equação. Substituímos esse valor nas outras duas equa��ões:
- Da primeira equação:
- Da terceira equação:
Dividindo tudo por 2:
Agora temos:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
na Equação 1 para encontrar
:
Passo 5
Agora que temos todos os coeficientes:
Vamos escrever o polinômio final substituindo esses valores na forma geral:
Resposta
O polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela é: