Determine o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela abaixo:
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-1 | 0 | 2 |
---|---|---|---|
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4 | 1 | -1 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de grau 2 que passe por três pontos específicos: (-1, 4), (0, 1) e (2, -1). Isso faz parte do conteúdo de interpolação de polinômios, que é uma técnica da álgebra usada para encontrar uma função que conecta pontos dados. Vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para descobrir os coeficientes desse polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é um polinômio de grau 2. Ele tem a forma geral:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos usar os pontos que a gente tem para montar equações. Sabemos que o polinômio deve passar por cada um desses pontos, então substituímos
e
em cada caso:
- Para o ponto (-1, 4):
- Para o ponto (0, 1):
- Para o ponto (2, -1):
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Já sabemos que
a partir da segunda equação. Substituímos esse valor nas outras duas equa��ões:
- Da primeira equação:
- Da terceira equação:
Dividindo tudo por 2:
Agora temos:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Agora, substituímos
na Equação 1 para encontrar
:
Passo 5
Agora que temos todos os coeficientes:
Vamos escrever o polinômio final substituindo esses valores na forma geral:
Resposta
O polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela é:
Exercícios relacionados
Obtenha a aproximação da integral. Use 4 casas decimais.
(b) Simpson: .
(b) Simpson:
i | xi | fxi | P |
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---|---|---|---|---|
0 | ||||
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 | ||||
5 | ||||
6 | ||||
7 | ||||
8 | ||||
9 | ||||
10 | ||||
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Resolva o sistema não linear utilizando o método de Newton considerando as condições iniciais:
.
Complete a tabela:
Complete a tabela:
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---|---|---|---|
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São dados abaixo as partes reais da função de dispersão do plasma
para distintos valores de
. Calcule
usando interpolação quadrática, baseado nos 3 primeiros valores da tabela e, também, a interpolação cúbica. Compare os resultados com o valor
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2.0 | 2.2 | 2.5 | 3.0 |
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-0.602681 | -0.529022 | -0.446167 | -0.356542 |
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5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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49 | 105 | 172 | 253 | 352 | 473 | 619 | 793 |
Interpolando com polinômios de
grau, encontre as cargas correspondentes aos seguintes alongamentos:
a) 12 mm
b) 22 mm
c) 31 mm
a) 12 mm
b) 22 mm
c) 31 mm