dx/dt = alpha - beta cos(pi t / 12) - k x, x(0) = x0
onde x(t) é a quantidade de hormônio no sangue no instante t, alpha é a taxa de produção média, beta é a quantidade de variação diária na produção e k é uma constante positiva refletindo a taxa em que o corpo remove o hormônio do sangue. Se alpha = beta = 1, k = 2 e x0 = 10, resolva para x(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que descreve como a quantidade de hormônio no sangue ( x(t)) muda ao longo do tempo ( t). A matéria que precisamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de primeira ordem e lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e usar fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada com os valores fornecidos:
Aqui, , , e . Nossa meta é encontrar x(t).

Passo 3

Essa é uma EDO linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:

Passo 4

Para resolver, precisamos achar o fator integrante ( ), que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
O lado esquerdo simplifica para .

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, que é , usamos a integração por partes ou reconhecemos que é uma integral padrão que resulta em termos envolvendo seno e cosseno.

Passo 8

Após resolver a segunda integral (que envolve cálculo mais avançado), obtemos:
Simplificando os termos e resolvendo para x(t):

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:
Simplificando:
Resolvendo para C:

Resposta

Portanto, a solução para x(t) é:

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