onde é a quantidade de hormônio no sangue no instante é a taxa de produção média, é a quantidade de variação diária na produção e é uma constante positiva refletindo a taxa em que o corpo remove o hormônio do sangue. Se e , resolva para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que descreve como a quantidade de hormônio no sangue ( ) muda ao longo do tempo ( ). A matéria que precisamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de primeira ordem e lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e usar fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada com os valores fornecidos:
Aqui, , , e . Nossa meta é encontrar .

Passo 3

Essa é uma EDO linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:

Passo 4

Para resolver, precisamos achar o fator integrante ( ), que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para .

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, que é , usamos a integração por partes ou reconhecemos que é uma integral padrão que resulta em termos envolvendo seno e cosseno.

Passo 8

Após resolver a segunda integral (que envolve cálculo mais avançado), obtemos:
Simplificando os termos e resolvendo para :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Simplificando:
Resolvendo para :

Resposta

Portanto, a solução para é:

Exercícios relacionados

27.1. Primeiramente resolva a equação (12).
27.2. Se para todo , mostre que a solução para (12) é
onde é uma constante.
27.3. Se não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (12) é da forma
onde agora é uma função de . Substituindo na equação diferencial por essa expressão, mostre que tem que satisfazer a condição
Determine a solução da equação acima.
desempenha um papel importante em dinâmica populacional, um campo responsável pela modelagem da evolução ao longo do tempo de populações de plantas, animais e seres humanos. Se , então a equação acima assume a forma
Neste caso, sua solução é e corresponde ao crescimento exponencial, como o que se aplicava a uma pequena população num país extenso ( como os EUA há muito tempo atrás!). Essa é a chamada Lei de Malthus. Encontre a solução geral para a (1).
como um modelo para o crescimento populacional em 1838. Ele referiu-se a ele como o crescimento logístico. Desta forma considere a equação de Verhulst ou Equação Logística na forma
onde . A constante é chamada de taxa de crescimento intrínseca, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador. Observe que a equação (11) é uma equação de Bernoulli. Desta forma dê a solução desta equação com a condição inicial .