onde
é a quantidade de hormônio no sangue no instante
é a taxa de produção média,
é a quantidade de variação diária na produção e
é uma constante positiva refletindo a taxa em que o corpo remove o hormônio do sangue. Se
e
, resolva para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que descreve como a quantidade de hormônio no sangue (
) muda ao longo do tempo (
). A matéria que precisamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de primeira ordem e lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e usar fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada com os valores fornecidos:
Aqui,
,
,
e
. Nossa meta é encontrar
.
Passo 3
Essa é uma EDO linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Passo 4
Para resolver, precisamos achar o fator integrante (
), que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
.
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, que é
, usamos a integração por partes ou reconhecemos que é uma integral padrão que resulta em termos envolvendo seno e cosseno.
Passo 8
Após resolver a segunda integral (que envolve cálculo mais avançado), obtemos:
Simplificando os termos e resolvendo para
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, a solução para
é:
Exercícios relacionados
27.1. Primeiramente resolva a equação (12).
27.2. Se para todo
, mostre que a solução para (12) é
27.2. Se
onde
é uma constante.
27.3. Se não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (12) é da forma
27.3. Se
onde
agora é uma função de
. Substituindo
na equação diferencial por essa expressão, mostre que
tem que satisfazer a condição
Determine a solução da equação acima.
desempenha um papel importante em dinâmica populacional, um campo responsável pela modelagem da evolução ao longo do tempo
de populações de plantas, animais e seres humanos. Se
, então a equação acima assume a forma
Neste caso, sua solução é
e corresponde ao crescimento exponencial, como o que se aplicava a uma pequena população num país extenso ( como os EUA há muito tempo atrás!). Essa é a chamada Lei de Malthus. Encontre a solução geral para a (1).
como um modelo para o crescimento populacional em 1838. Ele referiu-se a ele como o crescimento logístico. Desta forma considere a equação de Verhulst ou Equação Logística na forma
onde
. A constante
é chamada de taxa de crescimento intrínseca, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador. Observe que a equação (11) é uma equação de Bernoulli. Desta forma dê a solução desta equação com a condição inicial
.