Determine a solução da equação acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Aqui a gente tem uma equação diferencial que relaciona a taxa de variação de em relação ao tempo . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais, especificamente uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de integração e entender um pouco sobre coeficientes lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação pra deixar tudo mais claro:
Isso é uma equação diferencial do tipo , onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar um fator integrante, que é uma função que a gente multiplica em toda a equação pra facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Isso deixa a esquerda da equação como a derivada do produto .

Passo 5

Agora, podemos escrever a equação assim:
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

Fazendo a integração:
Então:

Passo 7

Agora, isolamos :
Onde é a constante de integração que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Resposta

A solução da equação é:

Exercícios relacionados

onde é uma constante positiva. Neste contexto considere-se uma população relativamente à qual se sabe que o número de indivíduos no ano de 2000 era de 10 000, sendo de 5000 no ano de 1900.
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
Sabendo que no ano 2000 a população tinha 100000 membros, determinar:
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando .
Sabe-se ainda que a trajetória de passa pelo ponto de . Determinar a equação polar da respectiva trajetória.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.
27.1. Primeiramente resolva a equação (12).
27.2. Se para todo , mostre que a solução para (12) é
onde é uma constante.
27.3. Se não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (12) é da forma
onde agora é uma função de . Substituindo na equação diferencial por essa expressão, mostre que tem que satisfazer a condição
onde é a quantidade de hormônio no sangue no instante é a taxa de produção média, é a quantidade de variação diária na produção e é uma constante positiva refletindo a taxa em que o corpo remove o hormônio do sangue. Se e , resolva para .