Determine a solução da equação acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Aqui a gente tem uma equação diferencial que relaciona a taxa de variação de
em relação ao tempo
. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais, especificamente uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de integração e entender um pouco sobre coeficientes lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação pra deixar tudo mais claro:
Isso é uma equação diferencial do tipo
, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar um fator integrante, que é uma função que a gente multiplica em toda a equação pra facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso deixa a esquerda da equação como a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, podemos escrever a equação assim:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Fazendo a integração:
Então:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Onde
é a constante de integração que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Resposta
A solução da equação é:
Exercícios relacionados
onde
é uma constante positiva. Neste contexto considere-se uma população relativamente à qual se sabe que o número de indivíduos no ano de 2000 era de 10 000, sendo de 5000 no ano de 1900.
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
Sabendo que no ano 2000 a população tinha 100000 membros, determinar:
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando .
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando
Sabe-se ainda que a trajetória de
passa pelo ponto de
. Determinar a equação polar da respectiva trajetória.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.
Obs.: Observe que a equação diferencial acima é exata.
27.1. Primeiramente resolva a equação (12).
27.2. Se para todo
, mostre que a solução para (12) é
27.2. Se
onde
é uma constante.
27.3. Se não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (12) é da forma
27.3. Se
onde
agora é uma função de
. Substituindo
na equação diferencial por essa expressão, mostre que
tem que satisfazer a condição
onde
é a quantidade de hormônio no sangue no instante
é a taxa de produção média,
é a quantidade de variação diária na produção e
é uma constante positiva refletindo a taxa em que o corpo remove o hormônio do sangue. Se
e
, resolva para
.