desempenha um papel importante em dinâmica populacional, um campo responsável pela modelagem da evolução ao longo do tempo de populações de plantas, animais e seres humanos. Se , então a equação acima assume a forma
Neste caso, sua solução é e corresponde ao crescimento exponencial, como o que se aplicava a uma pequena população num país extenso ( como os EUA há muito tempo atrás!). Essa é a chamada Lei de Malthus. Encontre a solução geral para a (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial que modela a dinâmica populacional:
Aqui, representa a população ao longo do tempo , e e são constantes positivas. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais, principalmente a separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis e . A equação dada é:
Podemos fatorar :
Agora, para separar as variáveis, colocamos todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro:

Passo 3

A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo requer decomposição em frações parciais. Vamos decompor :
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , igualamos os coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Resolvendo, temos e .

Passo 4

Agora, substituímos e de volta na integral:
Integrando cada termo:
Isso resulta em:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão acima:
Onde é uma constante arbitrária. Podemos eliminar o valor absoluto e reescrever a equação exponencialmente:
Onde é uma nova constante.

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:
Levantando os termos com para um lado:
Fatorando :
Finalmente, isolando :
Podemos reescrever a constante como uma nova constante , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante que depende das condições iniciais.

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onde agora é uma função de . Substituindo na equação diferencial por essa expressão, mostre que tem que satisfazer a condição
como um modelo para o crescimento populacional em 1838. Ele referiu-se a ele como o crescimento logístico. Desta forma considere a equação de Verhulst ou Equação Logística na forma
onde . A constante é chamada de taxa de crescimento intrínseca, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador. Observe que a equação (11) é uma equação de Bernoulli. Desta forma dê a solução desta equação com a condição inicial .
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A constante positiva depende das propriedades físicas do prédio, como o número de portas e janelas e o tipo de isolamento, mas não depende de ou . Logo quando a temperatura externa é maior que a interna, e há um aumento na temperatura do prédio causado por . Por outro lado, quando a temperatura externa é menor que a interna, então e a temperatura do prédio diminui.
Resumindo, encontramos
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33.1. Mostre que a solução de (21) é dada por
33.2. Suponha, ao final do dia (no instante ), quando as pessoas saem do prédio, que a temperatura externa permaneça constante em , mas a taxa de aquecimento adicional dentro do prédio seja zero e a taxa do aquecedor/ar-condicionado seja zero. Determine , dada a condição inicial .