y' = A y - B y^2
desempenha um papel importante em dinâmica populacional, um campo responsável pela modelagem da evolução ao longo do tempo t de populações de plantas, animais e seres humanos. Se B=0, então a equação acima assume a forma
y' = A y
Neste caso, sua solução é y = (1/c) e^(A t) e corresponde ao crescimento exponencial, como o que se aplicava a uma pequena população num país extenso ( como os EUA há muito tempo atrás!). Essa é a chamada Lei de Malthus. Encontre a solução geral para a (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial que modela a dinâmica populacional:
Aqui, y representa a população ao longo do tempo t, e A e B são constantes positivas. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais, principalmente a separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis y e t. A equação dada é:
Podemos fatorar y:
Agora, para separar as variáveis, colocamos todos os termos envolvendo y de um lado e os termos envolvendo t do outro:

Passo 3

A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo requer decomposição em frações parciais. Vamos decompor :
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar C e D, igualamos os coeficientes:
  • Coeficiente de y:
  • Termo constante:
Resolvendo, temos e .

Passo 4

Agora, substituímos C e D de volta na integral:
Integrando cada termo:
Isso resulta em:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão acima:
Onde é uma constante arbitrária. Podemos eliminar o valor absoluto e reescrever a equação exponencialmente:
Onde é uma nova constante.

Passo 6

Agora, vamos resolver para y:
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:
Levantando os termos com y para um lado:
Fatorando y:
Finalmente, isolando y:
Podemos reescrever a constante como uma nova constante C, então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante que depende das condições iniciais.

Exercícios relacionados