desempenha um papel importante em dinâmica populacional, um campo responsável pela modelagem da evolução ao longo do tempo de populações de plantas, animais e seres humanos. Se , então a equação acima assume a forma
Neste caso, sua solução é e corresponde ao crescimento exponencial, como o que se aplicava a uma pequena população num país extenso ( como os EUA há muito tempo atrás!). Essa é a chamada Lei de Malthus. Encontre a solução geral para a (1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial que modela a dinâmica populacional:
Aqui, representa a população ao longo do tempo , e e são constantes positivas. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais, principalmente a separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis e . A equação dada é:
Podemos fatorar :
Agora, para separar as variáveis, colocamos todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro:
Passo 3
A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo requer decomposição em frações parciais. Vamos decompor :
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , igualamos os coeficientes:
Coeficiente de :
Termo constante:
Resolvendo, temos e .
Passo 4
Agora, substituímos e de volta na integral:
Integrando cada termo:
Isso resulta em:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão acima:
Onde é uma constante arbitrária. Podemos eliminar o valor absoluto e reescrever a equação exponencialmente:
Onde é uma nova constante.
Passo 6
Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:
Levantando os termos com para um lado:
Fatorando :
Finalmente, isolando :
Podemos reescrever a constante como uma nova constante , então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante que depende das condições iniciais.