como um modelo para o crescimento populacional em 1838. Ele referiu-se a ele como o crescimento logístico. Desta forma considere a equação de Verhulst ou Equação Logística na forma
onde
. A constante
é chamada de taxa de crescimento intrínseca, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador. Observe que a equação (11) é uma equação de Bernoulli. Desta forma dê a solução desta equação com a condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação logística que modela o crescimento populacional. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente a equação logística de Verhulst. Precisamos encontrar a solução da equação
com a condição inicial
. Vamos usar o método para equações de Bernoulli para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, podemos reescrever a equação logística assim:
Comparando com a forma de Bernoulli, temos:
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Então, derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação logística na expressão para
:
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear em termos de
.
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo os dois lados para resolver para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução da equação logística com a condição inicial
é:
Exercícios relacionados
desempenha um papel importante em dinâmica populacional, um campo responsável pela modelagem da evolução ao longo do tempo
de populações de plantas, animais e seres humanos. Se
, então a equação acima assume a forma
Neste caso, sua solução é
e corresponde ao crescimento exponencial, como o que se aplicava a uma pequena população num país extenso ( como os EUA há muito tempo atrás!). Essa é a chamada Lei de Malthus. Encontre a solução geral para a (1).
onde
é a quantidade de hormônio no sangue no instante
é a taxa de produção média,
é a quantidade de variação diária na produção e
é uma constante positiva refletindo a taxa em que o corpo remove o hormônio do sangue. Se
e
, resolva para
.
Um método natural para modelar a temperatura dentro de um prédio é usar a análise comportamental. Considere que
represente a temperatura no instante
e veja o prédio como um único comportamento. Então, a taxa de mudança na temperatura é determinada por todos os fatores que geram ou dissipam calor.
Vamos considerar três fatores principais que afetam a temperatura dentro do prédio. O primeiro é o calor produzido por pessoas, lâmpadas e máquinas. Isso causa uma taxa de aumento na temperatura que será indicada por . O segundo é o aquecimento (ou resfriamento) fornecido pelo aquecedor (ou ar-condicionado). Essa taxa de aumento (ou diminuição) na temperatura será representada por
. Em geral, a taxa de aquecimento adicional
e a do aquecedor (ou ar-condicionado)
são descritas em termos da energia por unidade de tempo (com unidades térmicas britânicas por hora). Porém, multiplicando pela capacidade de calor do prédio (em unidades de mudança de temperaturas em graus por unidade de energia de calor), podemos expressar as duas quantidades
e
em termos de temperatura por unidade de tempo.
O terceiro fator é o efeito da temperatura externa sobre a de dentro do prédio. A evidência experimental tem mostrado que esse fator pode ser modelado usando a Lei de resfriamento de Newton. Essa lei afirma que a taxa de mudança na temperatura
é proporcional à diferença entre a temperatura externa
e a interna
. Ou seja, a taxa de mudança na temperatura do prédio devido a
é
Vamos considerar três fatores principais que afetam a temperatura dentro do prédio. O primeiro é o calor produzido por pessoas, lâmpadas e máquinas. Isso causa uma taxa de aumento na temperatura que será indicada por
O terceiro fator é o efeito da temperatura externa
A constante positiva
depende das propriedades físicas do prédio, como o número de portas e janelas e o tipo de isolamento, mas
não depende de
ou
. Logo quando a temperatura externa é maior que a interna,
e há um aumento na temperatura do prédio causado por
. Por outro lado, quando a temperatura externa é menor que a interna, então
e a temperatura do prédio diminui.
Resumindo, encontramos
Resumindo, encontramos
em que a taxa de aquecimento adicional
é sempre não negativa e
é positiva para o aquecimento (causado pelo aquecedor) e negativa para o resfriamento (causado pelo ar-condicionado).
33.1. Mostre que a solução de (21) é dada por
33.1. Mostre que a solução de (21) é dada por
33.2. Suponha, ao final do dia (no instante
), quando as pessoas saem do prédio, que a temperatura externa permaneça constante em
, mas a taxa de aquecimento adicional
dentro do prédio seja zero e a taxa do aquecedor/ar-condicionado
seja zero. Determine
, dada a condição inicial
.
onde
é a massa das células do tumor no instante
. Este modelo concorda muito bem com as observações clínicas. O declíneo da taxa de crescimento que surge quando
fica maior que 1 corresponde ao fato de que as células no interior de um tumor podem morrer por causa da insuficiência de oxigênio e nutrientes. Resolva esta equação diferencial.
Sugestão: Use variáveis separáveis.
Sugestão: Use variáveis separáveis.