d y/d t = (r - a y) y
como um modelo para o crescimento populacional em 1838. Ele referiu-se a ele como o crescimento logístico. Desta forma considere a equação de Verhulst ou Equação Logística na forma
dy/dt = r(1 - y/k)y
onde k = r / a. A constante r é chamada de taxa de crescimento intrínseca, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador. Observe que a equação (11) é uma equação de Bernoulli. Desta forma dê a solução desta equação com a condição inicial y(0) = y0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação logística que modela o crescimento populacional. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente a equação logística de Verhulst. Precisamos encontrar a solução da equação
com a condição inicial . Vamos usar o método para equações de Bernoulli para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, podemos reescrever a equação logística assim:
Comparando com a forma de Bernoulli, temos:

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Então, derivando em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação logística na expressão para :
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral de é , então:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo os dois lados para resolver para :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Resolvendo para :

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A solução da equação logística com a condição inicial é:

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