como um modelo para o crescimento populacional em 1838. Ele referiu-se a ele como o crescimento logístico. Desta forma considere a equação de Verhulst ou Equação Logística na forma
onde
. A constante
é chamada de taxa de crescimento intrínseca, isto é, a taxa de crescimento na ausência de qualquer fator limitador. Observe que a equação (11) é uma equação de Bernoulli. Desta forma dê a solução desta equação com a condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação logística que modela o crescimento populacional. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente a equação logística de Verhulst. Precisamos encontrar a solução da equação
com a condição inicial
. Vamos usar o método para equações de Bernoulli para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, podemos reescrever a equação logística assim:
Comparando com a forma de Bernoulli, temos:
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Então, derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação logística na expressão para
:
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear em termos de
.
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo os dois lados para resolver para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução da equação logística com a condição inicial
é: