y^prime+p(t) y=g(t)
27.1. Primeiramente resolva a equação (12).
27.2. Se g(t)=0 para todo t, mostre que a solução para (12) é
y=A exp [-integral p(t) d t]
onde A é uma constante.
27.3. Se g(t) não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (12) é da forma
y=A(t) exp [-integral p(t) d t]
onde A agora é uma função de t. Substituindo y na equação diferencial por essa expressão, mostre que A(t) tem que satisfazer a condição
A^prime(t)=g(t) exp [integral p(t) d t]

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. A equação dada é:
y^prime + p(t) y = g(t)
Nosso objetivo é resolver essa equação em três partes:
  1. Resolver a equação geral.
  2. Mostrar a solução quando .
  3. Encontrar a condição que a função deve satisfazer quando não é zero.
Para isso, vamos precisar entender o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Parte 27.1: Resolver a equação y^prime + p(t) y = g(t) de forma geral.
Vamos resolver a equação diferencial:
mu(t) = exp( integral p(t) dt )
Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o fator integrante, que é:
mu(t) y^prime + mu(t) p(t) y = mu(t) g(t)
Multiplicamos toda a equação por ddt [mu(t) y] = mu(t) g(t) :
mu(t) y = integral mu(t) g(t) dt + C
A esquerda da equação agora é a derivada do produto y = 1mu(t) ( integral mu(t) g(t) dt + C ) :
y = e^-integral p(t) dt ( integral e^integral p(t) dt g(t) dt + C )
Integrando ambos os lados:
Finalmente, isolamos :
Substituindo :

Passo 3

Parte 27.2: Mostrar que se y^prime + p(t) y = 0 , a solução é y = e^-integral p(t) dt ( integral e^integral p(t) dt cdot 0 , dt + C ) .
Quando y = e^-integral p(t) dt cdot C , a equação diferencial fica:
y = A exp[-integral p(t) dt]
Usando a solução geral que encontramos na Parte 27.1:
y = A exp[-integral p(t) dt]
O termo da integral desaparece porque estamos multiplicando por zero:
Podemos renomear para (já que é uma constante):
Então, quando , a solução é:

Passo 4

Parte 27.3: Se y = A(t) exp[-integral p(t) dt] não é zero, e assumimos que a solução é y' = A^prime(t) exp[-integral p(t) dt] + A(t) cdot ddt [ exp(-integral p(t) dt) ] , mostrar que ddt [ exp(-integral p(t) dt) ] = -p(t) exp(-integral p(t) dt) deve satisfazer y' = A^prime(t) exp[-integral p(t) dt] - p(t) A(t) exp[-integral p(t) dt] .
Vamos supor que a solução tem a forma:
A^prime(t) exp[-integral p(t) dt] - p(t) A(t) exp[-integral p(t) dt] + p(t) A(t) exp[-integral p(t) dt] = g(t)
Nosso objetivo é encontrar uma condição para A^prime(t) exp[-integral p(t) dt] = g(t) .
Primeiro, calculamos a derivada de A^prime(t) = g(t) exp[integral p(t) dt] em relação a :
Usando a regra da cadeia para a segunda parte:
Então, substituindo de volta:
Agora, substituímos e na equação original :
Os termos com cancelam:
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A condição que a função A^prime(t) = g(t) exp[integral p(t) dt] deve satisfazer é:

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