27.1. Primeiramente resolva a equação (12).
27.2. Se
para todo
, mostre que a solução para (12) é
onde
é uma constante.
27.3. Se
não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (12) é da forma
onde
agora é uma função de
. Substituindo
na equação diferencial por essa expressão, mostre que
tem que satisfazer a condição
27.2. Se
27.3. Se
Passo 1
Beleza, temos um exercício sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. A equação dada é:
Nosso objetivo é resolver essa equação em três partes:
- Resolver a equação geral.
- Mostrar a solução quando
. - Encontrar a condição que a função
deve satisfazer quando não é zero.
Para isso, vamos precisar entender o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Parte 27.1: Resolver a equação
de forma geral.
Vamos resolver a equação diferencial:
Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação por
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Finalmente, isolamos
:
Substituindo
:
Passo 3
Parte 27.2: Mostrar que se
, a solução é
.
Quando
, a equação diferencial fica:
Usando a solução geral que encontramos na Parte 27.1:
O termo da integral desaparece porque estamos multiplicando por zero:
Podemos renomear
para
(já que é uma constante):
Então, quando
, a solução é:
Passo 4
Parte 27.3: Se
não é zero, e assumimos que a solução é
, mostrar que
deve satisfazer
.
Vamos supor que a solução tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar uma condição para
.
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia para a segunda parte:
Então, substituindo de volta:
Agora, substituímos
e
na equação original
:
Os termos com
cancelam:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A condição que a função
deve satisfazer é:
Exercícios relacionados
Determine a solução da equação acima.
onde
é uma constante positiva. Neste contexto considere-se uma população relativamente à qual se sabe que o número de indivíduos no ano de 2000 era de 10 000, sendo de 5000 no ano de 1900.
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
8.1. Com base nestes dados, determinar qual deverá ser o número de membros da população no ano de 2100;
8.2. Supondo agora que para outra população a lei a considerar é
Sabendo que no ano 2000 a população tinha 100000 membros, determinar:
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando .
8.2.1. O número de membros no ano de 2100;
8.2.2. O número de membros quando
onde
é a quantidade de hormônio no sangue no instante
é a taxa de produção média,
é a quantidade de variação diária na produção e
é uma constante positiva refletindo a taxa em que o corpo remove o hormônio do sangue. Se
e
, resolva para
.
desempenha um papel importante em dinâmica populacional, um campo responsável pela modelagem da evolução ao longo do tempo
de populações de plantas, animais e seres humanos. Se
, então a equação acima assume a forma
Neste caso, sua solução é
e corresponde ao crescimento exponencial, como o que se aplicava a uma pequena população num país extenso ( como os EUA há muito tempo atrás!). Essa é a chamada Lei de Malthus. Encontre a solução geral para a (1).