27.1. Primeiramente resolva a equação (12).
27.2. Se para todo , mostre que a solução para (12) é
onde é uma constante.
27.3. Se não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (12) é da forma
onde agora é uma função de . Substituindo na equação diferencial por essa expressão, mostre que tem que satisfazer a condição

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. A equação dada é:
Nosso objetivo é resolver essa equação em três partes:
  1. Resolver a equação geral.
  2. Mostrar a solução quando .
  3. Encontrar a condição que a função deve satisfazer quando não é zero.
Para isso, vamos precisar entender o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Parte 27.1: Resolver a equação de forma geral.
Vamos resolver a equação diferencial:
Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação por :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Finalmente, isolamos :
Substituindo :

Passo 3

Parte 27.2: Mostrar que se , a solução é .
Quando , a equação diferencial fica:
Usando a solução geral que encontramos na Parte 27.1:
O termo da integral desaparece porque estamos multiplicando por zero:
Podemos renomear para (já que é uma constante):
Então, quando , a solução é:

Passo 4

Parte 27.3: Se não é zero, e assumimos que a solução é , mostrar que deve satisfazer .
Vamos supor que a solução tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar uma condição para .
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Usando a regra da cadeia para a segunda parte:
Então, substituindo de volta:
Agora, substituímos e na equação original :
Os termos com cancelam:
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A condição que a função deve satisfazer é:

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Determine a solução da equação acima.
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