Se é uma curva regular de velocidade escalar , curvatura positiva e torção , deduza as seguintes equações,
onde é o referencial móvel de Frenet-Serret.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional, representada por , que tem uma velocidade , curvatura e torção . A gente vai usar esses conceitos da geometria das curvas e o referencial de Frenet-Serret, que é formado pelos vetores unitários tangente (), normal () e binormal (). Nosso objetivo é deduzir as equações que relacionam as derivadas desses vetores com a curvatura e torção da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor tangente é definido como a derivada da posição em relação ao parâmetro , normalizado:
Aqui, é a velocidade da curva. A derivada de em relação a nos dá a mudança na direção do vetor tangente, que está ligada à curvatura da curva.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a :
Usando a regra do quociente:
Mas sabemos que a curvatura está relacionada à taxa de mudança do vetor tangente em relação ao comprimento do arco (). Como , temos:
A parte está na direção do vetor normal , então podemos escrever:
Isso mostra como a derivada de está relacionada à curvatura e ao vetor normal .
Passo 4
Agora, vamos derivar o vetor normal em relação a . Sabemos que é ortogonal a e que sua derivada envolve tanto a curvatura quanto a torção. A derivada de pode ser expressa como:
Aqui, o termo mostra como está “girar” na direção oposta de proporcional à curvatura, e indica a influência da torção, que faz com que o referencial gire em direção ao vetor binormal .
Passo 5
Por fim, vamos derivar o vetor binormal :
Esse resultado mostra que a derivada de está diretamente relacionada à torção e ao vetor normal , indicando como o binormal está girando em direção a devido à torção da curva.
Resposta
As equações deduzidas do referencial de Frenet-Serret são: