Se alpha: I ⊆ R → R^3 é uma curva regular de velocidade escalar v = v(t), curvatura positiva k = k(t) e torção tau = tau(t), deduza as seguintes equações, T' = k v N
N' = -k v T + tau v B
B' = -tau v N
onde S = {T, N, B} é o referencial móvel de Frenet-Serret.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional, representada por alpha(t), que tem uma velocidade v(t), curvatura e torção . A gente vai usar esses conceitos da geometria das curvas e o referencial de Frenet-Serret, que é formado pelos vetores unitários tangente ( T), normal ( N) e binormal ( B). Nosso objetivo é deduzir as equações que relacionam as derivadas desses vetores com a curvatura e torção da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor tangente T é definido como a derivada da posição alpha(t) em relação ao parâmetro t, normalizado:
Aqui, é a velocidade da curva. A derivada de T em relação a t nos dá a mudança na direção do vetor tangente, que está ligada à curvatura da curva.

Passo 3

Agora, vamos derivar T em relação a t:
Usando a regra do quociente:
Mas sabemos que a curvatura k está relacionada à taxa de mudança do vetor tangente em relação ao comprimento do arco ( s). Como , temos:
A parte está na direção do vetor normal N, então podemos escrever:
Isso mostra como a derivada de T está relacionada à curvatura k e ao vetor normal N.

Passo 4

Agora, vamos derivar o vetor normal N em relação a t. Sabemos que N é ortogonal a T e que sua derivada envolve tanto a curvatura quanto a torção. A derivada de N pode ser expressa como:
Aqui, o termo mostra como N está “girar” na direção oposta de T proporcional à curvatura, e indica a influência da torção, que faz com que o referencial gire em direção ao vetor binormal B.

Passo 5

Por fim, vamos derivar o vetor binormal B:
Esse resultado mostra que a derivada de B está diretamente relacionada à torção tau e ao vetor normal N, indicando como o binormal está girando em direção a N devido à torção da curva.

Resposta

As equações deduzidas do referencial de Frenet-Serret são:

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