Se
é uma curva regular de velocidade escalar
, curvatura positiva
e torção
, deduza as seguintes equações,
onde
é o referencial móvel de Frenet-Serret.
onde
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional, representada por
, que tem uma velocidade
, curvatura
e torção
. A gente vai usar esses conceitos da geometria das curvas e o referencial de Frenet-Serret, que é formado pelos vetores unitários tangente (
), normal (
) e binormal (
). Nosso objetivo é deduzir as equações que relacionam as derivadas desses vetores com a curvatura e torção da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor tangente
é definido como a derivada da posição
em relação ao parâmetro
, normalizado:
Aqui,
é a velocidade da curva. A derivada de
em relação a
nos dá a mudança na direção do vetor tangente, que está ligada à curvatura da curva.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Mas sabemos que a curvatura
está relacionada à taxa de mudança do vetor tangente em relação ao comprimento do arco (
). Como
, temos:
A parte
está na direção do vetor normal
, então podemos escrever:
Isso mostra como a derivada de
está relacionada à curvatura
e ao vetor normal
.
Passo 4
Agora, vamos derivar o vetor normal
em relação a
. Sabemos que
é ortogonal a
e que sua derivada envolve tanto a curvatura quanto a torção. A derivada de
pode ser expressa como:
Aqui, o termo
mostra como
está “girar” na direção oposta de
proporcional à curvatura, e
indica a influência da torção, que faz com que o referencial gire em direção ao vetor binormal
.
Passo 5
Por fim, vamos derivar o vetor binormal
:
Esse resultado mostra que a derivada de
está diretamente relacionada à torção
e ao vetor normal
, indicando como o binormal está girando em direção a
devido à torção da curva.
Resposta
As equações deduzidas do referencial de Frenet-Serret são: