Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo . Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial contínuo e precisamos encontrar todas as curvas integrais desse campo. Essas curvas são como “linhas de fluxo” que seguem o campo. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial, mais especificamente resolver um sistema de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva integral. Se a curva é dada por , então a condição para ser uma curva integral é que a derivada dessa curva seja igual ao campo vetorial em cada ponto. Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações diferenciais:

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente. Primeiro, a equação para :
Essa é uma equação diferencial simples cuja solução é:
onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para :
Semelhante à anterior, a solução é:
onde é outra constante de integração.

Passo 5

Para encontrar a relação entre e nas curvas integrais, podemos eliminar o parâmetro . Da solução de , temos:
Substituindo esse valor de na expressão para :
onde é uma nova constante.

Passo 6

Então, a família de curvas integrais é dada por:
Essas são equações de hipérboles, onde determina a “abertura” da hipérbole.

Resposta

A família de curvas integrais do campo vetorial é dada por , onde é uma constante. Geometricamente, essas curvas são hipérboles.

Exercícios relacionados

Se é uma curva regular de velocidade escalar , curvatura positiva e torção , deduza as seguintes equações,


onde é o referencial móvel de Frenet-Serret.
Considere a funação onde , simplifique:
Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
(d) Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
para as funções radiais em cada caso seguinte:
ii. No .