Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo
. Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo
.
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
©
.
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial contínuo
e precisamos encontrar todas as curvas integrais desse campo. Essas curvas são como “linhas de fluxo” que seguem o campo. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial, mais especificamente resolver um sistema de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva integral. Se a curva é dada por
, então a condição para ser uma curva integral é que a derivada dessa curva seja igual ao campo vetorial
em cada ponto. Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações diferenciais:
Passo 3
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente. Primeiro, a equação para
:
Essa é uma equação diferencial simples cuja solução é:
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para
:
Semelhante à anterior, a solução é:
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Para encontrar a relação entre
e
nas curvas integrais, podemos eliminar o parâmetro
. Da solução de
, temos:
Substituindo esse valor de
na expressão para
:
onde
é uma nova constante.
Passo 6
Então, a família de curvas integrais é dada por:
Essas são equações de hipérboles, onde
determina a “abertura” da hipérbole.
Resposta
A família de curvas integrais do campo vetorial
é dada por
, onde
é uma constante. Geometricamente, essas curvas são hipérboles.
Exercícios relacionados
Se
é uma curva regular de velocidade escalar
, curvatura positiva
e torção
, deduza as seguintes equações,
onde é o referencial móvel de Frenet-Serret.
onde
Considere a funação
onde
, simplifique:
Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
(d) Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
para as funções radiais em cada caso seguinte:
ii. No .
ii. No