Esboce o gráfico das funções abaixo.
f: R R, dada por
f(x)=rll-x^2, & se & x in(-infty,-2) 0, & se & x=-2 x+3, & se & x in(-2,0) -1, & se & x=0 -x, & se & x in(0,2) x^2, & se & x in[2,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de uma função que é definida por partes diferentes, ou seja, uma função por partes. Isso significa que dependendo do valor de , a função se comporta de maneira diferente. Para resolver, vamos identificar cada uma dessas partes, entender como elas se comportam e, por fim, juntar tudo para desenhar o gráfico completo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as partes da função com seus respectivos intervalos:
f(x) = -x^2, & se x in (-infty, -2) 0, & se x = -2 x + 3, & se x in (-2, 0) -1, & se x = 0 -x, & se x in (0, 2) x^2, & se x in [2, +infty)
Vamos analisar cada parte individualmente.

Passo 3

1. para :
Essa é uma parábola invertida (porque o coeficiente de é negativo). Ela abre para baixo e está definida para todos os valores de menores que -2.
2. para :
Aqui, simplesmente . Apenas um ponto no gráfico.
3. para :
Essa é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto em 3. Está definida entre -2 e 0.
4. para :
Outro ponto específico: .
5. para :
Linha reta com inclinação -1, definida entre 0 e 2.
6. para :
Parábola que abre para cima, definida para maiores ou iguais a 2.

Passo 4

Vamos agora esboçar cada parte no gráfico:
  • Parábola invertida para :
    • Por exemplo, para : .
    • E para , nesse caso, já tem outro valor definido: .
  • Ponto em :
    • Apenas o ponto ( -2, 0 ).
  • Linha reta entre -2 e 0:
    • Para : .
    • Para , o valor já está definido como 0.
    • Para , embora a linha alcance 3, temos outro valor definido no ponto (0, -1).
  • Ponto em :
    • Apenas o ponto (0, -1).
  • Linha reta entre 0 e 2:
    • Para : .
    • Para , a linha alcança -2, mas temos outra definição a partir de .
  • Parábola para :
    • Para : .
    • E para valores maiores, a parábola sobe.

Passo 5

Agora, juntando todas as partes:
  1. Para : Desenhamos a parábola invertida começando de baixo, chegando até com o ponto ( -2, 0 ).
  2. Em : Marcamos o ponto ( -2, 0 ).
  3. Entre : Desenhamos a linha reta começando de ( -2, 0 ) até próximo de (0, 3), mas lembrando que em o valor muda.
  4. Em : Colocamos o ponto (0, -1 ).
  5. Entre : Desenhamos a linha reta de (0, -1 ) até (2, -2 ).
  6. Para : Iniciamos a parábola que abre para cima a partir de (2, 4 ) indo para cima conforme aumenta.

Resposta

Pronto! Com todas essas partes desenhadas e conectadas conforme os intervalos definidos, temos o esboço completo do gráfico da função . Ele combina parábolas, linhas retas e pontos específicos, refletindo todas as definições dadas no enunciado.

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