Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de uma função que é definida por partes diferentes, ou seja, uma função por partes. Isso significa que dependendo do valor de , a função se comporta de maneira diferente. Para resolver, vamos identificar cada uma dessas partes, entender como elas se comportam e, por fim, juntar tudo para desenhar o gráfico completo.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as partes da função com seus respectivos intervalos:
f(x) = -x^2, & se x in (-infty, -2) 0, & se x = -2 x + 3, & se x in (-2, 0) -1, & se x = 0 -x, & se x in (0, 2) x^2, & se x in [2, +infty)
Vamos analisar cada parte individualmente.
Passo 3
1. para :
Essa é uma parábola invertida (porque o coeficiente de é negativo). Ela abre para baixo e está definida para todos os valores de menores que -2.
2. para :
Aqui, simplesmente . Apenas um ponto no gráfico.
3. para :
Essa é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto em 3. Está definida entre -2 e 0.
4. para :
Outro ponto específico: .
5. para :
Linha reta com inclinação -1, definida entre 0 e 2.
6. para :
Parábola que abre para cima, definida para maiores ou iguais a 2.
Passo 4
Vamos agora esboçar cada parte no gráfico:
Parábola invertida para :
Por exemplo, para : .
E para , nesse caso, já tem outro valor definido: .
Ponto em :
Apenas o ponto ( -2, 0 ).
Linha reta entre -2 e 0:
Para : .
Para , o valor já está definido como 0.
Para , embora a linha alcance 3, temos outro valor definido no ponto (0, -1).
Ponto em :
Apenas o ponto (0, -1).
Linha reta entre 0 e 2:
Para : .
Para , a linha alcança -2, mas temos outra definição a partir de .
Parábola para :
Para : .
E para valores maiores, a parábola sobe.
Passo 5
Agora, juntando todas as partes:
Para : Desenhamos a parábola invertida começando de baixo, chegando até com o ponto ( -2, 0 ).
Em : Marcamos o ponto ( -2, 0 ).
Entre : Desenhamos a linha reta começando de ( -2, 0 ) até próximo de (0, 3), mas lembrando que em o valor muda.
Em : Colocamos o ponto (0, -1 ).
Entre : Desenhamos a linha reta de (0, -1 ) até (2, -2 ).
Para : Iniciamos a parábola que abre para cima a partir de (2, 4 ) indo para cima conforme aumenta.
Resposta
Pronto! Com todas essas partes desenhadas e conectadas conforme os intervalos definidos, temos o esboço completo do gráfico da função . Ele combina parábolas, linhas retas e pontos específicos, refletindo todas as definições dadas no enunciado.