Esboce o gráfico das funções abaixo.
f: R R onde f(x) é dada por:
f(x)=rll4 x+10, & se & x in(-infty,-3] x-2, & se & x in(-3,1) 2-3 x, & se & x in[1,2] 6 x-18, & se & x in(2,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico de uma função definida por partes. A matéria envolvida aqui é funções por partes e vamos precisar entender como cada trecho da função se comporta para montar o gráfico completo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. A função f(x) = 4x + 10 está dividida em quatro intervalos diferentes, e em cada intervalo temos uma expressão linear diferente para f(x) = x - 2 . Vamos olhar para cada trecho:
  1. Para f(x) = 2 - 3x :
    f(x) = 6x - 18
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
Cada uma dessas expressões é uma reta, então nosso objetivo é desenhar cada uma dessas retas no intervalo correspondente.

Passo 3

Vamos começar encontrando alguns pontos importantes para cada trecho, como interceptações com os eixos e valores nos limites dos intervalos.
  1. Para f(-3) = 4(-3) + 10 = -12 + 10 = -2 :
    • Vamos escolher f(0) = 0 - 2 = -2 : f(1) = 1 - 2 = -1
    • Então, temos o ponto f(1) = 2 - 3(1) = -1 .
  2. Para f(2) = 2 - 3(2) = 2 - 6 = -4 :
    • Vamos escolher f(3) = 6(3) - 18 = 18 - 18 = 0 : f(4) = 6(4) - 18 = 24 - 18 = 6
    • Outro ponto pode ser (lembrando que pertence ao próximo intervalo):
  3. Para :
    • Já sabemos que em :
    • Em :
  4. Para :
    • Vamos escolher :
    • Outro ponto interessante pode ser :

Passo 4

Agora que temos alguns pontos para cada trecho, vamos entender as inclinações (coeficientes angulares) de cada reta para saber como elas se comportam:
  1. : O coeficiente 4 indica que a reta está subindo, ou seja, à medida que aumenta, também aumenta.
  2. : O coeficiente 1 mostra que a reta também está subindo, mas com uma inclinação menor comparada ao primeiro trecho.
  3. : Aqui, o coeficiente -3 indica que a reta está descendo; à medida que aumenta, diminui.
  4. : O coeficiente 6 mostra uma reta bastante inclinada para cima, subindo rapidamente à medida que aumenta.

Passo 5

Com todas essas informações, vamos montar o gráfico:
  • Primeiro trecho ( ): Começamos no ponto e desenhamos uma reta que sobe conforme nos afastamos para a esquerda, já que vai para menos infinito.
  • Segundo trecho ( ): Começa no mesmo ponto e vai até , subindo levemente.
  • Terceiro trecho ( ): Começa em e desce até .
  • Quarto trecho ( ): Começa em e sobe bastante, passando por e , seguindo para o infinito.

Resposta

Pronto! Agora você tem o esboço do gráfico da função dividida em quatro trechos, cada um com sua própria reta e comportamento conforme os intervalos de . Basta plotar os pontos mencionados e desenhar as retas com as inclinações corretas para visualizar todo o gráfico.

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