Esboce o gráfico das funções abaixo.
onde é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico de uma função definida por partes. A matéria envolvida aqui é funções por partes e vamos precisar entender como cada trecho da função se comporta para montar o gráfico completo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. A função está dividida em quatro intervalos diferentes, e em cada intervalo temos uma expressão linear diferente para . Vamos olhar para cada trecho:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
Cada uma dessas expressões é uma reta, então nosso objetivo é desenhar cada uma dessas retas no intervalo correspondente.

Passo 3

Vamos começar encontrando alguns pontos importantes para cada trecho, como interceptações com os eixos e valores nos limites dos intervalos.
  1. Para :
    • Vamos escolher :
    • Então, temos o ponto .
  2. Para :
    • Vamos escolher :
    • Outro ponto pode ser (lembrando que pertence ao próximo intervalo):
  3. Para :
    • Já sabemos que em :
    • Em :
  4. Para :
    • Vamos escolher :
    • Outro ponto interessante pode ser :

Passo 4

Agora que temos alguns pontos para cada trecho, vamos entender as inclinações (coeficientes angulares) de cada reta para saber como elas se comportam:
  1. : O coeficiente 4 indica que a reta está subindo, ou seja, à medida que aumenta, também aumenta.
  2. : O coeficiente 1 mostra que a reta também está subindo, mas com uma inclinação menor comparada ao primeiro trecho.
  3. : Aqui, o coeficiente -3 indica que a reta está descendo; à medida que aumenta, diminui.
  4. : O coeficiente 6 mostra uma reta bastante inclinada para cima, subindo rapidamente à medida que aumenta.

Passo 5

Com todas essas informações, vamos montar o gráfico:
  • Primeiro trecho ( ): Começamos no ponto e desenhamos uma reta que sobe conforme nos afastamos para a esquerda, já que vai para menos infinito.
  • Segundo trecho ( ): Começa no mesmo ponto e vai até , subindo levemente.
  • Terceiro trecho ( ): Começa em e desce até .
  • Quarto trecho ( ): Começa em e sobe bastante, passando por e , seguindo para o infinito.

Resposta

Pronto! Agora você tem o esboço do gráfico da função dividida em quatro trechos, cada um com sua própria reta e comportamento conforme os intervalos de . Basta plotar os pontos mencionados e desenhar as retas com as inclinações corretas para visualizar todo o gráfico.

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