Para alpha in(0,1), calcule lim [(n+1)^alpha-n^alpha].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o limite de quando tende ao infinito, onde é um número entre 0 e 1. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão (n+1)^alpha - n^alpha = n^alpha [ (1 + 1n)^alpha - 1 ] de uma forma que facilite o cálculo do limite. Podemos fatorar da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo (1 + 1n)^alpha approx 1 + alpha cdot 1n . Quando é muito grande, é um número bem pequeno. Podemos usar uma aproximação para potências de números próximos de 1, que é:
Essa aproximação é válida porque está entre 0 e 1.

Passo 4

Substituindo a aproximação na nossa expressão original, temos:
n^alpha [ (1 + alpha cdot 1n) - 1 ] = n^alpha ( alpha cdot 1n ) = alpha cdot n^alpha - 1

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de n^alpha - 1 = 1n^1 - alpha quando tende ao infinito. Como está entre 0 e 1, é um número negativo. Portanto,
E, como , sabemos que tende a 0 quando vai para o infinito.

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é 0.

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