Seja uma sequência de números reais tal que . Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de números reais chamada e sabemos que, quando a gente pega a raiz n-ésima de e deixa crescer para o infinito, esse valor fica menor que 1. Nosso objetivo aqui é mostrar que, com o indo para infinito, vai chegar a 0. Vamos usar conceitos de limite e propriedades de potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, conforme fica bem grande, a raiz n-ésima de está se aproximando de algum número que é menor que 1. Ou seja, existe um número tal que com .
Passo 3
Agora, para facilitar a nossa prova, vamos escolher um número que seja maior que mas ainda menor que 1. Por exemplo, se , podemos escolher . A ideia é usar esse para estabelecer uma relação com .
Passo 4
Como , para suficientemente grande, a raiz n-ésima de vai ficar menor que . Matemáticamente, isso significa que existe um número tal que para todo , temos:
Passo 5
Elevando ambos os lados da desigualdade acima à potência , a gente tem:
Isso é válido porque é positivo e menor que 1, então quando a gente eleva a uma potência maior, ele fica ainda menor.
Passo 6
Agora, sabemos que , então tende a 0 conforme cresce para o infinito. Ou seja:
Portanto, se para grande, então também deve tender a 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Considerarndo que o par de funções fornecido são soluções da mesma E.D.O. linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
e
Use exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. Se e então não existe
Para , calcule .
Use exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. Se e não existem então não existe