Seja
uma sequência de números reais tal que
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de números reais chamada
e sabemos que, quando a gente pega a raiz n-ésima de
e deixa
crescer para o infinito, esse valor fica menor que 1. Nosso objetivo aqui é mostrar que, com o
indo para infinito,
vai chegar a 0. Vamos usar conceitos de limite e propriedades de potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, conforme
fica bem grande, a raiz n-ésima de
está se aproximando de algum número
que é menor que 1. Ou seja, existe um número
tal que
com
.
Passo 3
Agora, para facilitar a nossa prova, vamos escolher um número
que seja maior que
mas ainda menor que 1. Por exemplo, se
, podemos escolher
. A ideia é usar esse
para estabelecer uma relação com
.
Passo 4
Como
, para
suficientemente grande, a raiz n-ésima de
vai ficar menor que
. Matemáticamente, isso significa que existe um número
tal que para todo
, temos:
Passo 5
Elevando ambos os lados da desigualdade acima à potência
, a gente tem:
Isso é válido porque
é positivo e menor que 1, então quando a gente eleva
a uma potência maior, ele fica ainda menor.
Passo 6
Agora, sabemos que
, então
tende a 0 conforme
cresce para o infinito. Ou seja:
Portanto, se
para
grande, então
também deve tender a 0.