Seja uma sequência de números reais tal que . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de números reais chamada e sabemos que, quando a gente pega a raiz n-ésima de e deixa crescer para o infinito, esse valor fica menor que 1. Nosso objetivo aqui é mostrar que, com o indo para infinito, vai chegar a 0. Vamos usar conceitos de limite e propriedades de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, conforme fica bem grande, a raiz n-ésima de está se aproximando de algum número que é menor que 1. Ou seja, existe um número tal que com .

Passo 3

Agora, para facilitar a nossa prova, vamos escolher um número que seja maior que mas ainda menor que 1. Por exemplo, se , podemos escolher . A ideia é usar esse para estabelecer uma relação com .

Passo 4

Como , para suficientemente grande, a raiz n-ésima de vai ficar menor que . Matemáticamente, isso significa que existe um número tal que para todo , temos:

Passo 5

Elevando ambos os lados da desigualdade acima à potência , a gente tem: Isso é válido porque é positivo e menor que 1, então quando a gente eleva a uma potência maior, ele fica ainda menor.

Passo 6

Agora, sabemos que , então tende a 0 conforme cresce para o infinito. Ou seja: Portanto, se para grande, então também deve tender a 0.

Resposta

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