Seja (xn) uma sequência de números reais tal que lim n infty raiz[n]xn<1. Mostre que lim n infty xn=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de números reais chamada (xn) e sabemos que, quando a gente pega a raiz n-ésima de xn e deixa n crescer para o infinito, esse valor fica menor que 1. Nosso objetivo aqui é mostrar que, com o n indo para infinito, xn vai chegar a 0. Vamos usar conceitos de limite e propriedades de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa limn to infty raiz[n]xn < 1. Isso quer dizer que, conforme n fica bem grande, a raiz n-ésima de xn está se aproximando de algum número L que é menor que 1. Ou seja, existe um número L tal que raiz[n]xn to L com L < 1.

Passo 3

Agora, para facilitar a nossa prova, vamos escolher um número r que seja maior que L mas ainda menor que 1. Por exemplo, se L = 0.8, podemos escolher r = 0.9. A ideia é usar esse r para estabelecer uma relação com xn.

Passo 4

Como raiz[n]xn to L < 1, para n suficientemente grande, a raiz n-ésima de xn vai ficar menor que r. Matemáticamente, isso significa que existe um número N tal que para todo n > N, temos:
raiz[n]xn < r

Passo 5

Elevando ambos os lados da desigualdade acima à potência n, a gente tem:
xn < r^n
Isso é válido porque r é positivo e menor que 1, então quando a gente eleva r a uma potência maior, ele fica ainda menor.

Passo 6

Agora, sabemos que r < 1, então r^n tende a 0 conforme n cresce para o infinito. Ou seja:
limn to infty r^n = 0
Portanto, se xn < r^n para n grande, então xn também deve tender a 0.

Resposta

limn to infty xn = 0

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