Se alpha não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo: f(x) = { e^(alpha x), se -pi <= x < pi; periódica de período T = 2 pi }óí

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para a função definida no intervalo e que é periódica com período . Vamos usar a forma complexa da série de Fourier, já que não é um número inteiro. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes complexos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da série de Fourier em forma complexa. A série pode ser escrita como:
Aqui, são os coeficientes de Fourier que vamos calcular. Esses coeficientes são encontrados usando a seguinte expressão:

Passo 3

Agora, vamos substituir a função na fórmula dos coeficientes:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos integrar em relação a :
Avaliando os limites de a :

Passo 5

Simplificando a expressão, podemos escrever os coeficientes da seguinte forma:
Sabendo que , podemos simplificar ainda mais:

Resposta

A série de Fourier complexa para a função é dada por:

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