Se
não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para a função
definida no intervalo
e que é periódica com período
. Vamos usar a forma complexa da série de Fourier, já que
não é um número inteiro. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes complexos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da série de Fourier em forma complexa. A série pode ser escrita como:
Aqui,
são os coeficientes de Fourier que vamos calcular. Esses coeficientes são encontrados usando a seguinte expressão:
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
na fórmula dos coeficientes:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos integrar
em relação a
:
Avaliando os limites de
a
:
Passo 5
Simplificando a expressão, podemos escrever os coeficientes
da seguinte forma:
Sabendo que
, podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A série de Fourier complexa para a função
é dada por: