Encontre a série de Fourier para cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar a série de Fourier para a função
no intervalo
. Isso está ligado ao estudo de séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e entender como montar os coeficientes da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
usando uma identidade trigonométrica básica. Sabemos que:
Essa identidade nos ajuda a quebrar a função em termos que já se encaixam na forma básica de uma série de Fourier.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
usando essa identidade:
Isso já está quase na forma de uma série de Fourier, que geralmente é escrita como uma soma de termos constantes e de cossenos e senos.
Passo 4
Observamos que a função é composta por um termo constante
e um termo de cosseno
. Não há termos de seno porque nossa função original
é uma função par, ou seja, simétrica em torno do eixo y, o que faz com que os coeficientes dos senos sejam zero.
Passo 5
Portanto, a série de Fourier para
no intervalo dado é apenas a soma desses dois termos:
Resposta
A série de Fourier para
no intervalo
é: