Encontre a série de Fourier para cada função abaixo: f(x) = sen^2(x), -pi <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar a série de Fourier para a função no intervalo . Isso está ligado ao estudo de séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e entender como montar os coeficientes da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma identidade trigonométrica básica. Sabemos que:
Essa identidade nos ajuda a quebrar a função em termos que já se encaixam na forma básica de uma série de Fourier.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função usando essa identidade:
Isso já está quase na forma de uma série de Fourier, que geralmente é escrita como uma soma de termos constantes e de cossenos e senos.

Passo 4

Observamos que a função é composta por um termo constante e um termo de cosseno . Não há termos de seno porque nossa função original é uma função par, ou seja, simétrica em torno do eixo y, o que faz com que os coeficientes dos senos sejam zero.

Passo 5

Portanto, a série de Fourier para no intervalo dado é apenas a soma desses dois termos:

Resposta

A série de Fourier para no intervalo é:

Exercícios relacionados