Faça uma extensão ímpar, periódica de período com o período indicado e determine a série de senos para as seguintes funções: f(x) = {2 - x^2, 0 < x < 2; periódica com T = 4}ó

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida no intervalo e queremos estendê-la de forma ímpar e periódica com período . Depois disso, precisamos encontrar a série de senos que representa essa função. Ou seja, vamos usar a Série de Fourier focando apenas nos termos ímpares (seno), porque a função é ímpar. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a extensão ímpar da função e calcular os coeficientes da série de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma extensão ímpar periódica. Uma função ímpar satisfaz a condição . Então, para estender nossa função de para todo o eixo real de forma ímpar e periódica com período , precisamos definir para todos os usando essa propriedade.

Passo 3

Como o período , o intervalo de definição da função será de a . Para , usando a propriedade da função ímpar, temos:
Então,
Agora, temos a função definida de forma ímpar no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos construir a Série de Fourier em senos para essa função ímpar. Como a função é ímpar e periódica, sua série de Fourier conterá apenas termos de senos. A série geral é dada por:
Onde é a metade do período.

Passo 5

Os coeficientes são calculados pela fórmula:
Substituindo e para :

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral:
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 7

Primeiro, a integral :
Sabendo que e :

Passo 8

Agora, a segunda integral . Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes duas vezes.
Primeira aplicação da integração por partes:
Aplicando:
Segunda aplicação da integração por partes para :
Aplicando:
Substituindo de volta:
Avaliando de a , simplificando os termos, obtemos:

Passo 9

Agora, juntando as duas partes para achar :

Passo 10

Portanto, a série de senos que representa a função é:

Resposta

A série de senos que representa a função é:

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