Faça uma extensão ímpar, periódica de período com o período indicado e determine a série de senos para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
definida no intervalo
e queremos estendê-la de forma ímpar e periódica com período
. Depois disso, precisamos encontrar a série de senos que representa essa função. Ou seja, vamos usar a Série de Fourier focando apenas nos termos ímpares (seno), porque a função é ímpar. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a extensão ímpar da função e calcular os coeficientes da série de senos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma extensão ímpar periódica. Uma função ímpar satisfaz a condição
. Então, para estender nossa função
de
para todo o eixo real de forma ímpar e periódica com período
, precisamos definir
para todos os
usando essa propriedade.
Passo 3
Como o período
, o intervalo de definição da função será de
a
. Para
, usando a propriedade da função ímpar, temos:
Então,
Agora, temos a função definida de forma ímpar no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos construir a Série de Fourier em senos para essa função ímpar. Como a função é ímpar e periódica, sua série de Fourier conterá apenas termos de senos. A série geral é dada por:
Onde
é a metade do período.
Passo 5
Os coeficientes
são calculados pela fórmula:
Substituindo
e
para
:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 7
Primeiro, a integral
:
Sabendo que
e
:
Passo 8
Agora, a segunda integral
. Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes duas vezes.
Primeira aplicação da integração por partes:
Aplicando:
Segunda aplicação da integração por partes para
:
Aplicando:
Substituindo de volta:
Avaliando de
a
, simplificando os termos, obtemos:
Passo 9
Agora, juntando as duas partes para achar
:
Passo 10
Portanto, a série de senos que representa a função
é:
Resposta
A série de senos que representa a função
é: