Encontre a série de Fourier para cada função abaixo: f(x) = { 0, -1 <= x <= 0, x^2, 0 <= x < 1 ; f(x+2) = f(x) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para uma função que é definida de duas formas diferentes no intervalo e que se repete a cada período de 2 unidades. Então, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
No nosso caso, o período é , então . Portanto, a série de Fourier fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes , e . As fórmulas para esses coeficientes são:
Com , as fórmulas simplificam para:

Passo 4

Vamos calcular cada um desses coeficientes separadamente. Primeiro, o coeficiente :

Passo 5

Agora, o coeficiente :
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes duas vezes. Deixarei os detalhes dos cálculos para simplificar o processo aqui, mas o resultado final é:

Passo 6

Finalmente, o coeficiente :
Outra integração por partes nos leva a:

Passo 7

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier da função :

Resposta

A série de Fourier da função é:

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