Encontre a série de Fourier para cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para uma função que é definida de duas formas diferentes no intervalo e que se repete a cada período de 2 unidades. Então, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
No nosso caso, o período é , então . Portanto, a série de Fourier fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes , e . As fórmulas para esses coeficientes são:
Com , as fórmulas simplificam para:
Passo 4
Vamos calcular cada um desses coeficientes separadamente. Primeiro, o coeficiente :
Passo 5
Agora, o coeficiente :
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes duas vezes. Deixarei os detalhes dos cálculos para simplificar o processo aqui, mas o resultado final é:
Passo 6
Finalmente, o coeficiente :
Outra integração por partes nos leva a:
Passo 7
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier da função :