Considere uma função definida por Como f(x) deverá ser definida nos pontos x = 0, +- 5 para que a série de Fourier convirja para f(x) no intervalo -5 <= x <= 5 ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é definida de forma diferente em dois intervalos e é periódica com período . A função vale 0 quando e 3 quando . A pergunta é: como devemos definir nos pontos e para que a série de Fourier dela convirja para no intervalo ?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especialmente sobre como elas se comportam em pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma série de Fourier de uma função periódica converge para a média dos limites laterais da função no ponto onde ela é descontínua. Ou seja, se há uma descontinuidade em algum ponto , a série de Fourier em vai assumir o valor:
onde é o limite quando se aproxima de pela direita, e é o limite quando se aproxima de pela esquerda.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos pontos e :
Para :
Quando se aproxima de 0 pela esquerda (), .
Quando se aproxima de 0 pela direita (), .
Então, a média será:
Para :
Pela periodicidade , é o mesmo que quando consideramos o ciclo completo.
Quando se aproxima de 5 pela esquerda (), .
Quando se aproxima de 5 pela direita (), devido à periodicidade, estamos em , onde .
A média será:
Passo 4
Portanto, para garantir que a série de Fourier convirja para nos pontos e , devemos definir:
Resposta
Para que a série de Fourier convirja para no intervalo , devemos definir nos pontos e como 1,5.