Considere uma função definida por f(x) = { 0, se -5 < x < 0; 3, se 0 < x < 5; periódica com T = 10 }ó Como f(x) deverá ser definida nos pontos x = 0, +- 5 para que a série de Fourier convirja para f(x) no intervalo -5 <= x <= 5 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é definida de forma diferente em dois intervalos e é periódica com período . A função vale 0 quando e 3 quando . A pergunta é: como devemos definir nos pontos e para que a série de Fourier dela convirja para no intervalo ?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especialmente sobre como elas se comportam em pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma série de Fourier de uma função periódica converge para a média dos limites laterais da função no ponto onde ela é descontínua. Ou seja, se há uma descontinuidade em algum ponto , a série de Fourier em vai assumir o valor:
onde é o limite quando se aproxima de pela direita, e é o limite quando se aproxima de pela esquerda.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos pontos e :
  1. Para :
    • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), .
    • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), .
    • Então, a média será:
  2. Para :
    • Pela periodicidade , é o mesmo que quando consideramos o ciclo completo.
    • Quando se aproxima de 5 pela esquerda ( ), .
    • Quando se aproxima de 5 pela direita ( ), devido à periodicidade, estamos em , onde .
    • A média será:

Passo 4

Portanto, para garantir que a série de Fourier convirja para nos pontos e , devemos definir:

Resposta

Para que a série de Fourier convirja para no intervalo , devemos definir nos pontos e como 1,5.

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