Se
não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
e que é periódica com período
. O problema nos pede para encontrar a série de Fourier dessa função usando a forma complexa, assumindo que
não é um número inteiro.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as séries de Fourier na forma complexa, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma infinita de exponenciais complexos. Também precisaremos entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para a função dada.
Passo 2
A série de Fourier complexa de uma função periódica
com período
é dada por:
onde
são os coeficientes de Fourier definidos por:
Vamos calcular esses coeficientes para a função
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula dos coeficientes:
Lembre-se de que
pode ser escrita usando exponenciais complexas:
Substituindo isso na integral:
Passo 4
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso às integrais:
-
Para
: - Se
, ou seja, , a integral é . - Caso contrário, é 0.
- Se
-
Para
: - Se
, ou seja, , a integral é . - Caso contrário, é 0.
- Se
Passo 5
Portanto, os coeficientes
serão:
onde
é a função delta de Kronecker, que é 1 quando os índices são iguais e 0 caso contrário.
Passo 6
Substituindo os coeficientes de volta na série de Fourier:
Isso simplifica para:
Resposta
A série de Fourier na forma complexa para a função
, onde
não é um número inteiro, é simplesmente ela mesma: