Faça uma extensão ímpar, periódica de período com o período indicado e determine a série de senos para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer uma extensão ímpar da função e determinar a série de senos para ela. Isso está dentro do conteúdo de Séries de Fourier, especificamente tratando da representação de funções periódicas usando senos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma extensão ímpar. Uma função é ímpar se . Isso é útil porque, ao estender a função de forma ímpar, a série de Fourier resultante terá apenas termos de seno, simplificando nosso trabalho.
Passo 3
Como a função já está definida de forma periódica com período e para ela é , vamos estender essa definição para usando a propriedade da função ímpar:
Passo 4
Agora, vamos determinar a série de senos dessa função. A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes . Substituindo no intervalo :
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde:
⇒
⇒
Aplicando a integração por partes:
Calculando os limites:
E a segunda integral:
Então, temos:
Passo 6
Agora que temos os coeficientes , podemos escrever a série de senos da função: