Seja f:(0, L] -> R uma função definida por f(x) = x^2. Faça uma extensão par e periódida de período T = 2 L para f.

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente pegar a função , que está definida no intervalo , e criar uma versão dessa função que seja par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y) e periódica com período . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma extensão par e uma função periódica.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre extensão par. Uma função é par se para todo . Ou seja, a parte da função que está à esquerda do eixo y é um espelho da parte à direita. No nosso caso, como , que já é uma função par, essa parte já está pronta!

Passo 3

Agora, precisamos tornar a função periódica com período . Isso significa que a função vai se repetir a cada intervalo de . Para fazer isso, vamos definir a função para qualquer real usando a periodicidade.

Passo 4

Vamos usar a propriedade da periodicidade para definir a extensão periódica. Para qualquer valor de , podemos encontrar um número inteiro tal que esteja no intervalo . Dentro desse intervalo, a função será definida como .

Resposta

A extensão par e periódica de com período é dada por:
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de e é simétrica em relação ao eixo y.

Exercícios relacionados