Seja
uma função definida por
. Faça uma extensão par e periódida de período
para
.
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente pegar a função
, que está definida no intervalo
, e criar uma versão dessa função que seja par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y) e periódica com período
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma extensão par e uma função periódica.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre extensão par. Uma função é par se
para todo
. Ou seja, a parte da função que está à esquerda do eixo y é um espelho da parte à direita. No nosso caso, como
, que já é uma função par, essa parte já está pronta!
Passo 3
Agora, precisamos tornar a função periódica com período
. Isso significa que a função vai se repetir a cada intervalo de
. Para fazer isso, vamos definir a função para qualquer
real usando a periodicidade.
Passo 4
Vamos usar a propriedade da periodicidade para definir a extensão periódica. Para qualquer valor de
, podemos encontrar um número inteiro
tal que
esteja no intervalo
. Dentro desse intervalo, a função será definida como
.
Resposta
A extensão par e periódica de
com período
é dada por:
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de
e é simétrica em relação ao eixo y.