Derive o resultado em (b) para mostrar que, para 0 <= x <= pi, se tem x = pi/2 - 4/pi * [cos(x)/1^2 + cos(3x)/3^2 + cos(5x)/5^2 + ...]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para derivar uma expressão que representa a função no intervalo de usando uma série de cossenos. O conteúdo envolve séries de Fourier, especificamente séries de Fourier cosseno. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenvolver a série de Fourier para funções ímpares ou pares e aplicar isso para obter a expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica pode ser escrita como uma soma de termos de senos e cossenos. No caso, como nossa função é par em relação a , podemos representar usando apenas termos de cossenos. A forma geral da série de Fourier cosseno para uma função no intervalo é:

Passo 3

Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula:
No nosso caso, , então precisamos calcular:

Passo 4

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Seja:
Aplicando a integração por partes:

Passo 5

Agora, avaliamos a integral definida de a :
Calculando nos limites:

Passo 6

Portanto, o coeficiente fica:
Observamos que quando é ímpar, , e quando é par, .

Passo 7

Isso implica que apenas os termos com ímpar contribuirão para a série. Vamos representar como , onde é um número inteiro positivo. Então, a série fica:
Substituindo .

Passo 8

Agora, substituímos os valores na série:
Para determinar , calculamos:
Então, .

Passo 9

Substituindo :
Isso pode ser reescrito somando sobre os números ímpares:

Resposta

Portanto, demonstramos que para :

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