Derive o resultado em (b) para mostrar que, para
, se tem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para derivar uma expressão que representa a função
no intervalo de
usando uma série de cossenos. O conteúdo envolve séries de Fourier, especificamente séries de Fourier cosseno. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenvolver a série de Fourier para funções ímpares ou pares e aplicar isso para obter a expressão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica pode ser escrita como uma soma de termos de senos e cossenos. No caso, como nossa função
é par em relação a
, podemos representar
usando apenas termos de cossenos. A forma geral da série de Fourier cosseno para uma função
no intervalo
é:
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
, usamos a fórmula:
No nosso caso,
, então precisamos calcular:
Passo 4
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Seja:
Aplicando a integração por partes:
Passo 5
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Calculando nos limites:
Passo 6
Portanto, o coeficiente
fica:
Observamos que quando
é ímpar,
, e quando
é par,
.
Passo 7
Isso implica que apenas os termos com
ímpar contribuirão para a série. Vamos representar
como
, onde
é um número inteiro positivo. Então, a série fica:
Substituindo
.
Passo 8
Agora, substituímos os valores na série:
Para determinar
, calculamos:
Então,
.
Passo 9
Substituindo
:
Isso pode ser reescrito somando sobre os números ímpares:
Resposta
Portanto, demonstramos que para
: