Se
não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma função
definida por:
A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função usando a forma complexa, considerando que
não é um número inteiro. Para isso, vamos precisar entender como funciona a série de Fourier na forma complexa e aplicar essa teoria passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Fourier na forma complexa. Ela representa uma função periódica como uma soma infinita de exponenciais complexas. A fórmula geral é:
onde os coeficientes
são dados por:
Então, nosso objetivo é calcular esses coeficientes
para a função .
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
na expressão dos coeficientes:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para facilitar, vamos usar a identidade de Euler para expressar o seno em termos de exponenciais complexas:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver as integrais. A integral de
de
a
é:
No nosso caso,
não é inteiro, então
e
. Portanto:
Similarmente:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Sabemos que
para qualquer inteiro
, mas como
não é inteiro,
e
não são necessariamente zero.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades das funções seno. Sabemos que
, então:
E:
Como
é inteiro,
, mas devido a
não inteiro, precisamos manter a expressão como está.
Passo 7
Portanto, os coeficientes
são:
E a série de Fourier na forma complexa fica:
Resposta
A série de Fourier complexa da função com período
é: