Se não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo: óí

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma função definida por:
A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função usando a forma complexa, considerando que não é um número inteiro. Para isso, vamos precisar entender como funciona a série de Fourier na forma complexa e aplicar essa teoria passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Fourier na forma complexa. Ela representa uma função periódica como uma soma infinita de exponenciais complexas. A fórmula geral é:
onde os coeficientes são dados por:
Então, nosso objetivo é calcular esses coeficientes para a função .

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na expressão dos coeficientes:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para facilitar, vamos usar a identidade de Euler para expressar o seno em termos de exponenciais complexas:
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver as integrais. A integral de de a é:
No nosso caso, não é inteiro, então e . Portanto:
Similarmente:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :
Sabemos que para qualquer inteiro , mas como não é inteiro, e não são necessariamente zero.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando propriedades das funções seno. Sabemos que , então:
E:
Como é inteiro, , mas devido a não inteiro, precisamos manter a expressão como está.

Passo 7

Portanto, os coeficientes são:
E a série de Fourier na forma complexa fica:

Resposta

A série de Fourier complexa da função com período é:

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Encontre a série de Fourier para cada função abaixo:
Faça uma extensão ímpar, periódica de período com o período indicado e determine a série de senos para as seguintes funções: ó
Mostre que, para ,
Calcule por convoluções.