Se não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma função definida por:
A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função usando a forma complexa, considerando que não é um número inteiro. Para isso, vamos precisar entender como funciona a série de Fourier na forma complexa e aplicar essa teoria passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Fourier na forma complexa. Ela representa uma função periódica como uma soma infinita de exponenciais complexas. A fórmula geral é:
onde os coeficientes são dados por:
Então, nosso objetivo é calcular esses coeficientes para a função .
Passo 3
Vamos calcular . Substituindo na expressão dos coeficientes:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para facilitar, vamos usar a identidade de Euler para expressar o seno em termos de exponenciais complexas:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver as integrais. A integral de de a é:
No nosso caso, não é inteiro, então e . Portanto:
Similarmente:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de :
Sabemos que para qualquer inteiro , mas como não é inteiro, e não são necessariamente zero.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades das funções seno. Sabemos que , então:
E:
Como é inteiro, , mas devido a não inteiro, precisamos manter a expressão como está.
Passo 7
Portanto, os coeficientes são:
E a série de Fourier na forma complexa fica:
Resposta
A série de Fourier complexa da função com período é: