Se alpha não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo: f(x)=lsen(alpha x), se -pi <= xóí

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma função f(x) = sen(alpha x), & se -pi <= x < pi, periódica de período T = 2pi definida por:
A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função usando a forma complexa, considerando que não é um número inteiro. Para isso, vamos precisar entender como funciona a série de Fourier na forma complexa e aplicar essa teoria passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Fourier na forma complexa. Ela representa uma função periódica como uma soma infinita de exponenciais complexas. A fórmula geral é:
f(x) = sumn=-infty^infty cn e^i n x
onde os coeficientes cn = 12pi integral-pi^pi f(x) e^-i n x dx são dados por:
Então, nosso objetivo é calcular esses coeficientes para a função .

Passo 3

Vamos calcular cn = 12pi integral-pi^pi sen(alpha x) e^-i n x dx . Substituindo sen(alpha x) = e^i alpha x - e^-i alpha x2i na expressão dos coeficientes:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para facilitar, vamos usar a identidade de Euler para expressar o seno em termos de exponenciais complexas:
Substituindo na integral:
cn = 12pi integral-pi^pi e^i alpha x - e^-i alpha x2i e^-i n x dx = 14pi i ( integral-pi^pi e^i (alpha - n) x dx - integral-pi^pi e^-i (alpha + n) x dx )

Passo 4

Agora, vamos resolver as integrais. A integral de integral-pi^pi e^i k x dx = 2pi, & se k = 0, e^i k pi - e^-i k pii k, & se k neq 0 de integral-pi^pi e^i (alpha - n) x dx = e^i (alpha - n) pi - e^-i (alpha - n) pii (alpha - n) = 2i sin[(alpha - n)pi]i (alpha - n) = 2 sin[(alpha - n)pi]alpha - n a integral-pi^pi e^-i (alpha + n) x dx = 2 sin[(alpha + n)pi]alpha + n é:
No nosso caso, não é inteiro, então e . Portanto:
Similarmente:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de cn = 14pi i ( 2 sin[(alpha - n)pi]alpha - n - 2 sin[(alpha + n)pi]alpha + n ) = 12pi i ( sin[(alpha - n)pi]alpha - n - sin[(alpha + n)pi]alpha + n ) :
Sabemos que para qualquer inteiro , mas como não é inteiro, e não são necessariamente zero.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando propriedades das funções seno. Sabemos que sin[(alpha - n)pi] = -sin[(n - alpha)pi] , então:
sin[(alpha + n)pi] = sin(alpha pi + npi)
E:
Como é inteiro, , mas devido a não inteiro, precisamos manter a expressão como está.

Passo 7

Portanto, os coeficientes cn = 12pi i ( sin[(alpha - n)pi]alpha - n - sin[(alpha + n)pi]alpha + n ) são:
f(x) = sumn=-infty^infty 12pi i ( sin[(alpha - n)pi]alpha - n - sin[(alpha + n)pi]alpha + n ) e^i n x
E a série de Fourier na forma complexa fica:

Resposta

A série de Fourier complexa da função com período f(x) = sumn=-infty^infty 12pi i ( sin[(alpha - n)pi]alpha - n - sin[(alpha + n)pi]alpha + n ) e^i n x é:

Exercícios relacionados