Faça uma extensão ímpar, periódica de período com o período indicado e determine a série de senos para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazer uma extensão ímpar e periódica da função
com período
e, depois, determinar a série de senos correspondente. Vamos usar conceitos de séries de Fourier para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma extensão ímpar da função. Uma função ímpar satisfaz a propriedade
. Isso é importante porque, ao criar essa extensão, garantimos que a função seja representada apenas por senos na série de Fourier, já que senos são funções ímpares.
Passo 3
A função original é definida da seguinte forma:
Para fazer a extensão ímpar, precisamos definir
para os valores negativos de
. Pelo que mencionei antes, uma função ímpar segue
. Então, para
:
Agora, a função está definida de
a
e se repete a cada
.
Passo 4
Agora que temos a função ímpar, vamos determinar a série de senos (série de Fourier) para
. A série de senos para uma função ímpar é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Como nossa função é ímpar e
também é ímpar, o produto das duas funções será par. Portanto, podemos simplificar a integral para:
Passo 5
Substituindo
no intervalo
:
Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Observando a expressão de
, percebemos que para valores pares de
,
, ou seja, os coeficientes são zero. Já para valores ímpares de
,
. Então podemos reescrever a série considerando apenas termos ímpares:
Resposta
A série de senos para a função dada é: