Faça uma extensão ímpar, periódica de período com o período indicado e determine a série de senos para as seguintes funções: f(x) = { 1, 0 < x < pi; periódica com T = 2 pi }ó

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazer uma extensão ímpar e periódica da função com período e, depois, determinar a série de senos correspondente. Vamos usar conceitos de séries de Fourier para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma extensão ímpar da função. Uma função ímpar satisfaz a propriedade . Isso é importante porque, ao criar essa extensão, garantimos que a função seja representada apenas por senos na série de Fourier, já que senos são funções ímpares.

Passo 3

A função original é definida da seguinte forma:
ó
Para fazer a extensão ímpar, precisamos definir para os valores negativos de . Pelo que mencionei antes, uma função ímpar segue . Então, para :
Agora, a função está definida de a e se repete a cada .

Passo 4

Agora que temos a função ímpar, vamos determinar a série de senos (série de Fourier) para . A série de senos para uma função ímpar é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
Como nossa função é ímpar e também é ímpar, o produto das duas funções será par. Portanto, podemos simplificar a integral para:

Passo 5

Substituindo no intervalo :
Vamos calcular essa integral:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então:

Passo 6

Observando a expressão de , percebemos que para valores pares de , , ou seja, os coeficientes são zero. Já para valores ímpares de , . Então podemos reescrever a série considerando apenas termos ímpares:

Resposta

A série de senos para a função dada é:

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