Calcule por convoluções.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a transformada inversa de Laplace da função usando convoluções. Isso envolve entender como as transformadas de Laplace funcionam e como aplicar a operação de convolução para encontrar a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace, , nos permite encontrar a função no tempo a partir da sua transformada no domínio de . A convolução é uma técnica útil quando temos a transformada de Laplace de um produto de duas funções.

Passo 3

Vamos decompor a fração em frações parciais para facilitar a aplicação da convolução. Temos:
Resolvendo para , e :
Comparando os coeficientes, descobrimos que , e . Assim, a fração se torna:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de cada termo separadamente:

Passo 5

A convolução de duas funções e é definida como:
Aqui, temos que nossa função é a soma de constantes e funções seno. No entanto, como já encontramos as transformadas inversas individuais, podemos somar os resultados diretamente.

Passo 6

Somando as transformadas inversas encontradas:

Resposta

A transformada inversa de é:

Exercícios relacionados

Mostre que, para ,
Se não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo: óí
Dado o sistema de equações diferencias :
a) Classifique a solução de equilibrio.
b) Se possível, encontre a solução geral.
c) As soluções são Linearmente Independentes? Justifique.
d) Faça um esboço do retrato de fase.
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial: