Calcule
por convoluções.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a transformada inversa de Laplace da função
usando convoluções. Isso envolve entender como as transformadas de Laplace funcionam e como aplicar a operação de convolução para encontrar a função no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace,
, nos permite encontrar a função no tempo a partir da sua transformada no domínio de
. A convolução é uma técnica útil quando temos a transformada de Laplace de um produto de duas funções.
Passo 3
Vamos decompor a fração
em frações parciais para facilitar a aplicação da convolução. Temos:
Resolvendo para
,
e
:
Comparando os coeficientes, descobrimos que
,
e
. Assim, a fração se torna:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de cada termo separadamente:
Passo 5
A convolução de duas funções
e
é definida como:
Aqui, temos que nossa função é a soma de constantes e funções seno. No entanto, como já encontramos as transformadas inversas individuais, podemos somar os resultados diretamente.
Passo 6
Somando as transformadas inversas encontradas:
Resposta
A transformada inversa de
é:
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Mostre que, para
,
Se
não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo:
Dado o sistema de equações diferencias
:
a) Classifique a solução de equilibrio.
b) Se possível, encontre a solução geral.
c) As soluções são Linearmente Independentes? Justifique.
d) Faça um esboço do retrato de fase.
a) Classifique a solução de equilibrio.
b) Se possível, encontre a solução geral.
c) As soluções são Linearmente Independentes? Justifique.
d) Faça um esboço do retrato de fase.
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial: