Encontre a série de Fourier para cada função abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier de uma função definida por partes:
Vamos precisar entender o que é uma série de Fourier, que é uma maneira de representar uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos calcular os coeficientes , e que compõem essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo de um período. A fórmula é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde a função está definida:
Calculando cada parte:
Somando as duas integrais:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes . Esses coeficientes multiplicam os cossenos na série de Fourier e são dados por:
Assim como antes, dividimos a integral nos dois intervalos:
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes, e após os cálculos, você encontrará que para todos os . Isso ocorre devido à simetria da função e das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 4

Vamos agora calcular os coeficientes , que multiplicam os senos na série de Fourier:
Novamente, dividimos a integral:
Depois de resolver essas integrais, percebemos que somente os termos ímpares de contribuem, e os coeficientes são dados por:
Para ímpar, , e para par, .

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:
Simplificando, temos:

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Encontre a série de Fourier para cada função abaixo:
Se não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo: óí
Mostre que, para ,