Mostre que, para ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dentro do intervalo , a expressão pode ser escrita de uma forma mais elaborada envolvendo funções seno. Vamos usar conhecimentos de séries trigonométricas e algumas técnicas de manipulação de séries para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que funções periódicas, como , podem ser expandidas em séries de senos e cossenos usando a série de Fourier. No nosso caso, vamos focar em desenvolver uma série de senos que represente .

Passo 3

Sabemos que pode ser reescrito usando identidades trigonométricas. Vamos utilizar a identidade para o produto de funções trigonométricas:
Mas para facilitar, vamos buscar uma série de senos que se aproxima dessa expressão.

Passo 4

Para encontrar a série de senos, podemos expandir em termos de senos com coeficientes apropriados. Vamos supor que:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes .

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação acima por e integramos de a para utilizar a ortogonalidade das funções seno:
A integral do lado direito simplifica devido à ortogonalidade:
Então, só o termo onde sobrevive.

Passo 6

Isso nos dá:
Portanto, os coeficientes podem ser calculados como:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral . Podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:

Passo 8

Calculando essas integrais, usamos integração por partes onde necessário, e após simplificar, encontramos que os coeficientes são:

Passo 9

Substituindo os coeficientes de volta na série, temos:

Passo 10

Rearranjando os termos da série para deixar claro o padrão, obtemos:

Resposta

Mostramos que, para ,

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Se não for um número inteiro, use a forma complexa para obter as séries de Fourier para as funções abaixo: óí
Encontre a série de Fourier para cada função abaixo:
Calcule por convoluções.
Dado o sistema de equações diferencias :
a) Classifique a solução de equilibrio.
b) Se possível, encontre a solução geral.
c) As soluções são Linearmente Independentes? Justifique.
d) Faça um esboço do retrato de fase.