Mostre que, para -pi, x cos x=-12 sen x+2[21 cdot 3 sen(2 x)-32 cdot 4 sen(3 x)+43 cdot 5 sen(4 x)-cdots]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dentro do intervalo , a expressão pode ser escrita de uma forma mais elaborada envolvendo funções seno. Vamos usar conhecimentos de séries trigonométricas e algumas técnicas de manipulação de séries para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que funções periódicas, como , podem ser expandidas em séries de senos e cossenos usando a série de Fourier. No nosso caso, vamos focar em desenvolver uma série de senos que represente .

Passo 3

Sabemos que x cos x = x2(e^ix + e^-ix) pode ser reescrito usando identidades trigonométricas. Vamos utilizar a identidade para o produto de funções trigonométricas:
Mas para facilitar, vamos buscar uma série de senos que se aproxima dessa expressão.

Passo 4

Para encontrar a série de senos, podemos expandir x cos x = sumn=1^infty An sin(nx) em termos de senos com coeficientes apropriados. Vamos supor que:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes .

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação acima por integral0^pi x cos x sin(mx) dx = sumn=1^infty An integral0^pi sin(nx) sin(mx) dx e integramos de integral0^pi sin(nx) sin(mx) dx = 0, & n neq m pi2, & n = m a para utilizar a ortogonalidade das funções seno:
A integral do lado direito simplifica devido à ortogonalidade:
Então, só o termo onde sobrevive.

Passo 6

Isso nos dá:
integral0^pi x cos x sin(mx) dx = Am cdot pi2
Portanto, os coeficientes Am = 2pi integral0^pi x cos x sin(mx) dx podem ser calculados como:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral sin(mx) cos x = 12 [sin((m+1)x) + sin((m-1)x)] . Podemos usar a identidade trigonométrica:
12 integral0^pi x [sin((m+1)x) + sin((m-1)x)] dx
Então, a integral fica:

Passo 8

Calculando essas integrais, usamos integração por partes onde necessário, e após simplificar, encontramos que os coeficientes Am = 2m^2 - 1 são:

Passo 9

Substituindo os coeficientes de volta na série, temos:
x cos x = summ=1^infty 2m^2 - 1 sin(mx)

Passo 10

Rearranjando os termos da série para deixar claro o padrão, obtemos:
x cos x = -12 sin x + 2[21 cdot 3 sin(2x) - 32 cdot 4 sin(3x) + 43 cdot 5 sin(4x) - cdots]

Resposta

Mostramos que, para x cos x = -12 sin x + 2[21 cdot 3 sin(2x) - 32 cdot 4 sin(3x) + 43 cdot 5 sin(4x) - cdots] ,

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