Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dentro do intervalo , a expressão pode ser escrita de uma forma mais elaborada envolvendo funções seno. Vamos usar conhecimentos de séries trigonométricas e algumas técnicas de manipulação de séries para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que funções periódicas, como , podem ser expandidas em séries de senos e cossenos usando a série de Fourier. No nosso caso, vamos focar em desenvolver uma série de senos que represente .
Passo 3
Sabemos que pode ser reescrito usando identidades trigonométricas. Vamos utilizar a identidade para o produto de funções trigonométricas:
Mas para facilitar, vamos buscar uma série de senos que se aproxima dessa expressão.
Passo 4
Para encontrar a série de senos, podemos expandir em termos de senos com coeficientes apropriados. Vamos supor que:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes .
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação acima por e integramos de a para utilizar a ortogonalidade das funções seno:
A integral do lado direito simplifica devido à ortogonalidade:
Então, só o termo onde sobrevive.
Passo 6
Isso nos dá:
Portanto, os coeficientes podem ser calculados como:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral . Podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 8
Calculando essas integrais, usamos integração por partes onde necessário, e após simplificar, encontramos que os coeficientes são:
Passo 9
Substituindo os coeficientes de volta na série, temos:
Passo 10
Rearranjando os termos da série para deixar claro o padrão, obtemos: