O elipsóide pode ser parametrizado pela função vetorial de duas variáveis
onde e .
Esboçe o gráfico do elipsóide para e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que esboçar o gráfico de um elipsóide dado pela equação usando a parametrização fornecida. Os valores são , e . Para isso, vamos precisar entender o que é um elipsóide, como a parametrização funciona e como usamos esses valores para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um elipsóide. É uma superfície tridimensional onde todos os pontos satisfazem a equação . Os parâmetros , e representam os semi-eixos do elipsóide nas direções , e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função vetorial que parametriza o elipsóide:
Aqui, varia de a e varia de a . Essa parametrização nos ajuda a gerar pontos na superfície do elipsóide variando e .
Passo 4
Vamos substituir os valores dados , e na equação da parametrização:
Isso nos dá as coordenadas , e em termos de e :
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos identificar os pontos principais:
Quando :
Isso descreve uma elipse no plano com semi-eixos e .
Quando :
Isso descreve uma curva no plano .
Quando :
Isso descreve uma curva no plano .
Passo 6
Com esses pontos principais, podemos esboçar o elipsóide:
Desenhe os eixos , e no espaço tridimensional.
No plano , desenhe uma elipse com semi-eixos e .
Nos planos e , desenhe as curvas obtidas nos passos anteriores.
Conecte essas curvas suavemente para formar a superfície do elipsóide.
Passo 7
Lembre-se que os semi-eixos determinam as “dimensões” do elipsóide:
alonga o elipsóide na direção .
alonga na direção .
alonga na direção .
Assim, o elipsóide será mais largo no eixo , seguido pelo e mais estreito no .
Resposta
Pronto! Com base nos valores , e , esboçamos um elipsóide mais largo no eixo , seguido pelo e mais estreito no , ligando as elipses e curvas obtidas nos diferentes planos para formar a superfície tridimensional.