O elipsóide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 pode ser parametrizado pela função vetorial de duas variáveis
r(u, v) = a cos(u) cos(v) i + b cos(u) sen(v) j + c sen(u) k
onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).
Esboçe o gráfico do elipsóide para a = 3, b = 4 e c = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que esboçar o gráfico de um elipsóide dado pela equação usando a parametrização fornecida. Os valores são , e . Para isso, vamos precisar entender o que é um elipsóide, como a parametrização funciona e como usamos esses valores para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um elipsóide. É uma superfície tridimensional onde todos os pontos satisfazem a equação . Os parâmetros , e representam os semi-eixos do elipsóide nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função vetorial que parametriza o elipsóide:
Aqui, varia de a e varia de a . Essa parametrização nos ajuda a gerar pontos na superfície do elipsóide variando e .

Passo 4

Vamos substituir os valores dados , e na equação da parametrização:
Isso nos dá as coordenadas , e em termos de e :

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos identificar os pontos principais:
  • Quando :
    Isso descreve uma elipse no plano com semi-eixos e .
  • Quando :
    Isso descreve uma curva no plano .
  • Quando :
    Isso descreve uma curva no plano .

Passo 6

Com esses pontos principais, podemos esboçar o elipsóide:
  1. Desenhe os eixos , e no espaço tridimensional.
  2. No plano , desenhe uma elipse com semi-eixos e .
  3. Nos planos e , desenhe as curvas obtidas nos passos anteriores.
  4. Conecte essas curvas suavemente para formar a superfície do elipsóide.

Passo 7

Lembre-se que os semi-eixos determinam as “dimensões” do elipsóide:
  • alonga o elipsóide na direção .
  • alonga na direção .
  • alonga na direção .
Assim, o elipsóide será mais largo no eixo , seguido pelo e mais estreito no .

Resposta

Pronto! Com base nos valores , e , esboçamos um elipsóide mais largo no eixo , seguido pelo e mais estreito no , ligando as elipses e curvas obtidas nos diferentes planos para formar a superfície tridimensional.

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