O elipsóide
pode ser parametrizado pela função vetorial de duas variáveis
onde
e
.
Esboçe o gráfico do elipsóide para
e
.
Esboçe o gráfico do elipsóide para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que esboçar o gráfico de um elipsóide dado pela equação
usando a parametrização fornecida. Os valores são
,
e
. Para isso, vamos precisar entender o que é um elipsóide, como a parametrização funciona e como usamos esses valores para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um elipsóide. É uma superfície tridimensional onde todos os pontos satisfazem a equação
. Os parâmetros
,
e
representam os semi-eixos do elipsóide nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função vetorial que parametriza o elipsóide:
Aqui,
varia de
a
e
varia de
a
. Essa parametrização nos ajuda a gerar pontos na superfície do elipsóide variando
e
.
Passo 4
Vamos substituir os valores dados
,
e
na equação da parametrização:
Isso nos dá as coordenadas
,
e
em termos de
e
:
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos identificar os pontos principais:
-
Quando
: Isso descreve uma elipse no planocom semi-eixos e . -
Quando
: Isso descreve uma curva no plano. -
Quando
: Isso descreve uma curva no plano.
Passo 6
Com esses pontos principais, podemos esboçar o elipsóide:
- Desenhe os eixos
, e no espaço tridimensional. - No plano
, desenhe uma elipse com semi-eixos e . - Nos planos
e , desenhe as curvas obtidas nos passos anteriores. - Conecte essas curvas suavemente para formar a superfície do elipsóide.
Passo 7
Lembre-se que os semi-eixos determinam as “dimensões” do elipsóide:
-
alonga o elipsóide na direção . -
alonga na direção . -
alonga na direção .
Assim, o elipsóide será mais largo no eixo
, seguido pelo
e mais estreito no
.
Resposta
Pronto! Com base nos valores
,
e
, esboçamos um elipsóide mais largo no eixo
, seguido pelo
e mais estreito no
, ligando as elipses e curvas obtidas nos diferentes planos para formar a superfície tridimensional.