Se alpha'(t) = (sen^2(t), 2 cos^2(t)) e α(pi) = (0, 0), encontre alpha(t).

Passo 1

Estamos trabalhando com uma função vetorial . O enunciado nos fornece a derivada e o ponto inicial . Nosso objetivo é encontrar a função . Para isso, vamos integrar cada componente da derivada e usar a condição inicial para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a primeira componente de , que é . Lembramos que:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar a segunda componente de , que é . Utilizamos a identidade trigonométrica:
Portanto:

Passo 4

Com as integrais calculadas, podemos escrever a função :

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar as constantes e .
Substituindo na primeira componente:
Sabemos que , então:
Substituindo na segunda componente:
Novamente, , então:

Resposta

Portanto, a função é:

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