Determine a curvatura máxima de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a curvatura máxima da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com curvatura de curvas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da curvatura e como derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da curvatura para uma função . A curvatura é dada por:
Aqui, é a primeira derivada da função e é a segunda derivada.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da função :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da curvatura:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Então, a curvatura fica:

Passo 6

Para encontrar a curvatura máxima, precisamos encontrar o valor de que maximiza . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 7

Calculando a derivada de :
Vamos usar a regra do quociente ou a regra do produto. Aqui, optaremos pela regra do produto:
Simplificando:

Passo 8

Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Como estamos trabalhando com , deve ser positivo. Portanto:

Passo 9

Agora, substituímos na expressão da curvatura para encontrar o valor máximo:
Simplificando:

Resposta

A curvatura máxima da função é .

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Se e , encontre .
Faça um esboço das curvas definidas pelas funções vetoriais.
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Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
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