Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a curvatura máxima da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com curvatura de curvas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da curvatura e como derivar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da curvatura para uma função . A curvatura é dada por:
Aqui, é a primeira derivada da função e é a segunda derivada.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da função :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos e na fórmula da curvatura:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Então, a curvatura fica:
Passo 6
Para encontrar a curvatura máxima, precisamos encontrar o valor de que maximiza . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 7
Calculando a derivada de :
Vamos usar a regra do quociente ou a regra do produto. Aqui, optaremos pela regra do produto:
Simplificando:
Passo 8
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Como estamos trabalhando com , deve ser positivo. Portanto:
Passo 9
Agora, substituímos na expressão da curvatura para encontrar o valor máximo: