Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
alpha(t) = (sen(t), t, 1 - cos(t)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento do caminho que uma partícula percorre ao se mover ao longo de uma curva definida pelas equações paramétricas no intervalo de tempo de a . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de comprimento de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o comprimento de uma curva parametrizada por no intervalo é dado pela integral:
Aqui, é a derivada vetorial da função , e representa o módulo (ou comprimento) desse vetor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função dada :

Passo 4

Agora, calculamos o módulo desse vetor :
Sabemos que , então:

Passo 5

Com o módulo constante , o comprimento da curva é:

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula é unidades.

Exercícios relacionados