Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento do caminho que uma partícula percorre ao se mover ao longo de uma curva definida pelas equações paramétricas
no intervalo de tempo de
a
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de comprimento de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o comprimento de uma curva parametrizada por
no intervalo
é dado pela integral:
Aqui,
é a derivada vetorial da função
, e
representa o módulo (ou comprimento) desse vetor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
da função dada
:
Passo 4
Agora, calculamos o módulo desse vetor
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Com o módulo constante
, o comprimento da curva é:
Resposta
O comprimento do caminho percorrido pela partícula é
unidades.