Faça um esboço das curvas definidas pelas funções vetoriais.
b α(t) = (t, t, t), t ∈ [-1, 1].

Passo 1

Então, o exercício pede para fazer um esboço da curva definida pela função vetorial , onde t varia de -1 a 1. Vamos precisar entender o que é uma função vetorial e como ela descreve uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial como mapeia cada valor de t para um ponto no espaço tridimensional com coordenadas . Aqui, nossa função é , o que significa que para cada valor de t, as três coordenadas são iguais a t.

Passo 3

Como todas as coordenadas são iguais, temos que , e . Isso implica que . Essa relação mostra que a curva está na linha onde x, y e z são todos iguais. Geometricamente, isso é uma linha reta que passa pela origem e segue na direção igual para os eixos x, y e z.

Passo 4

Agora, vamos considerar os limites de t, que são de -1 a 1. Quando , o ponto na curva é . Quando , o ponto é . Portanto, a curva vai do ponto até o ponto .

Passo 5

Para esboçar a curva, desenhe uma linha reta no espaço tridimensional que começa no ponto e vai até o ponto . Essa linha passa pela origem e segue diagonalmente no espaço, onde todas as coordenadas são iguais.

Resposta

A curva definida pela função vetorial , para , é uma linha reta que passa pela origem e vai do ponto até o ponto .

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