a.
b.
c.
d.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro curvas parametrizadas diferentes (as partes a, b, c e d) e vamos analisar cada uma delas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e propriedades das curvas. Vamos precisar calcular as derivadas de cada componente das funções vetoriais para entender o comportamento de cada curva.
Passo 2
Parte a:
,
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. Isso nos dá o vetor velocidade, que mostra a direção e a rapidez com que a curva está mudando.
Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, podemos calcular a velocidade da curva, que é o módulo do vetor velocidade:
Isso significa que a velocidade é constante e igual a 1.
Passo 4
Vamos verificar se a curva é regular, ou seja, se o vetor velocidade nunca é zero no intervalo dado. Como
para todo
, a curva é regular.
Passo 5
Vamos analisar agora a parte b:
,
. Usaremos novamente derivadas para entender o comportamento dessa curva no espaço.
Passo 6
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 7
A velocidade da curva é o módulo desse vetor:
Passo 8
Para verificar se a curva é regular, observamos se
nunca é zero. Como
é sempre positivo para todo
, a velocidade nunca é zero, então a curva é regular.
Passo 9
Agora, vamos para a parte c:
,
. Vamos seguir os mesmos passos para derivar e analisar a curva.
Passo 10
Calculando a derivada de
:
Passo 11
A velocidade é o módulo desse vetor:
Calculando
:
Então:
Passo 12
Novamente, verificamos a regularidade. Como todos os termos sob a raiz são positivos ou zero, e há um termo constante (1),
nunca será zero. Portanto, a curva é regular para todo
.
Passo 13
Por último, vamos analisar a parte d:
,
. Vamos calcular a derivada e entender as propriedades dessa curva.
Passo 14
Derivando
:
Passo 15
Calculamos a velocidade:
Então, a velocidade é constante e igual a 1.
Passo 16
Verificamos se a curva é regular. Como
para todo
, a curva não tem pontos onde o vetor velocidade é zero, ou seja, é regular no intervalo dado.
Resposta
Na parte d, a derivada da curva é
, a velocidade é constante igual a 1, e a curva é regular para todo
.
Exercícios relacionados
(a) Calcule
, onde
é o semi-círculo
(percorrido no sentido anti-horário).
(b) Calcule , onde
é o segmento de reta que liga
e
(percorrido nessa direção).
© Calcule , onde
, sendo
o segmento
percorrido no sentido oposto.
(d) Para a região limitada tal que
, verifique a igualdade abaixo:
(b) Calcule
© Calcule
(d) Para a região limitada
Determine as derivodos parciais indicodos:
e
(a) Calcule
, onde
é a elipse
(percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
(b) Verifique a igualdade abaixo:
onde
é a região limitada tal que
.
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa: