a. alpha(t) = (cos(t), sen(t), 1), t pertence a [0, 2*pi[
b. alpha(t) = (t, t, 1 - 2 * t^2), t pertence a R
c. alpha(t)=(t^2, t, 1-t^2-t^4), t pertence a R
d. α(t) = (sen(t), cos(t), 0), t ∈ [0, 2π[

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro curvas parametrizadas diferentes (as partes a, b, c e d) e vamos analisar cada uma delas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e propriedades das curvas. Vamos precisar calcular as derivadas de cada componente das funções vetoriais para entender o comportamento de cada curva.

Passo 2

Parte a: ,
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . Isso nos dá o vetor velocidade, que mostra a direção e a rapidez com que a curva está mudando.
Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, podemos calcular a velocidade da curva, que é o módulo do vetor velocidade:
Isso significa que a velocidade é constante e igual a 1.

Passo 4

Vamos verificar se a curva é regular, ou seja, se o vetor velocidade nunca é zero no intervalo dado. Como para todo , a curva é regular.

Passo 5

Vamos analisar agora a parte b: , . Usaremos novamente derivadas para entender o comportamento dessa curva no espaço.

Passo 6

Primeiro, calculamos a derivada de :

Passo 7

A velocidade da curva é o módulo desse vetor:

Passo 8

Para verificar se a curva é regular, observamos se nunca é zero. Como é sempre positivo para todo , a velocidade nunca é zero, então a curva é regular.

Passo 9

Agora, vamos para a parte c: , . Vamos seguir os mesmos passos para derivar e analisar a curva.

Passo 10

Calculando a derivada de :

Passo 11

A velocidade é o módulo desse vetor:
Calculando :
Então:

Passo 12

Novamente, verificamos a regularidade. Como todos os termos sob a raiz são positivos ou zero, e há um termo constante (1), nunca será zero. Portanto, a curva é regular para todo .

Passo 13

Por último, vamos analisar a parte d: , . Vamos calcular a derivada e entender as propriedades dessa curva.

Passo 14

Derivando :

Passo 15

Calculamos a velocidade:
Então, a velocidade é constante e igual a 1.

Passo 16

Verificamos se a curva é regular. Como para todo , a curva não tem pontos onde o vetor velocidade é zero, ou seja, é regular no intervalo dado.

Resposta

Na parte d, a derivada da curva é , a velocidade é constante igual a 1, e a curva é regular para todo .

Exercícios relacionados

(a) Calcule integralC1 G cdot d r, onde C1 é o semi-círculo x^2+y^2=4, y >= 0 (percorrido no sentido anti-horário).
(b) Calcule integralC2 G cdot d r, onde C2 é o segmento de reta que liga (2,0) e (-2,0) (percorrido nessa direção).
© Calcule ointC G cdot d r, onde C=C1 cup(-C2), sendo -C2 o segmento C2 percorrido no sentido oposto.
(d) Para a região limitada D subset R^2 tal que partial D=C, verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r
Determine as derivodos parciais indicodos: f(x, y) = y^4 - 2 x^2 y^3 ; fx(1, 1) e f_y(0,1)
(a) Calcule ointC G cdot d r, onde C é a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 (percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r
onde D subset R^2 é a região limitada tal que partial D=C.
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa: f(x, y) = x^4 * y^3 + 4 * x^2 * y